Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooiinioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooiinioc 40101
Description: A left-open, right-closed interval expressed as the indexed intersection of open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iooiinioc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
iooiinioc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iooiinioc (𝜑 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴(,]𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem iooiinioc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooiinioc.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 iooiinioc.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
54rexrd 10127 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 1nn 11069 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
7 ioossre 12273 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ
8 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
98oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + (1 / 1)))
109oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))))
1110sseq1d 3665 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → ((𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ ↔ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ))
1211rspcev 3340 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℕ ∧ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
136, 7, 12mp2an 708 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ
14 iinss 4603 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ → 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
17 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
1816, 17sseldd 3637 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
1918rexrd 10127 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20 1red 10093 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
21 ax-1ne0 10043 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≠ 0)
2320, 20, 22redivcld 10891 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 1) ∈ ℝ)
243, 23readdcld 10107 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 1)) ∈ ℝ)
2524rexrd 10127 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 1)) ∈ ℝ*)
2625adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐵 + (1 / 1)) ∈ ℝ*)
27 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
286a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 1 ∈ ℕ)
2910eleq2d 2716 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1)))))
3027, 28, 29eliind 39554 . . . . . . 7 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))))
3130adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))))
32 ioogtlb 40035 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1)))) → 𝐴 < 𝑥)
332, 26, 31, 32syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴 < 𝑥)
34 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑛𝜑
35 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑛𝑥
36 nfii1 4583 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))
3735, 36nfel 2806 . . . . . . . 8 𝑛 𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))
3834, 37nfan 1868 . . . . . . 7 𝑛(𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
39 simpll 805 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
40 iinss2 4604 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4140adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
42 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4341, 42sseldd 3637 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4443adantll 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
45 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
46 elioore 12243 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑥 ∈ ℝ)
4746adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
4847adantll 750 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
493adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
50 nnrecre 11095 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5249, 51readdcld 10107 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
5352adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
541adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5554adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5652rexrd 10127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
5756adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
58 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
59 iooltub 40053 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6055, 57, 58, 59syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6148, 53, 60ltled 10223 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6239, 44, 45, 61syl21anc 1365 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6362ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑛 ∈ ℕ → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
6438, 63ralrimi 2986 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6538, 19, 4xrralrecnnle 39915 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑥𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
6664, 65mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥𝐵)
672, 5, 19, 33, 66eliocd 40048 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
6867ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
69 dfss3 3625 . . 3 ( 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴(,]𝐵) ↔ ∀𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
7068, 69sylibr 224 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴(,]𝐵))
711xrleidd 39923 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐴)
7271adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴𝐴)
73 1rp 11874 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
7473a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
75 nnrp 11880 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
7674, 75rpdivcld 11927 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
7776adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
7849, 77ltaddrpd 11943 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
79 iocssioo 12301 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8054, 56, 72, 78, 79syl22anc 1367 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8180ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
82 ssiin 4602 . . 3 ((𝐴(,]𝐵) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8381, 82sylibr 224 . 2 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8470, 83eqssd 3653 1 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴(,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607   ciin 4553   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  cn 11058  +crp 11870  (,)cioo 12213  (,]cioc 12214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-fl 12633
This theorem is referenced by:  iocborel  40892
  Copyright terms: Public domain W3C validator