Theorem ioogtlb 40137

Description: An element of a closed interval is greater than its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ioogtlb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ioogtlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo2 12330	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp2 1129	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
3	1, 2	syl6bi 243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐶))
4	3	3impia 1109	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   ∈ wcel 2103   class class class wbr 4760  (class class class)co 6765  ℝcr 10048  ℝ^*cxr 10186   < clt 10187  (,)cioo 12289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-ioo 12293

This theorem is referenced by:  iocopn  40166  iooshift  40168  iooiinicc  40189  ioogtlbd  40197  iooiinioc  40203  lptre2pt  40292  limcresiooub  40294  limcresioolb  40295  sinaover2ne0  40499  dvbdfbdioolem1  40563  ioodvbdlimc1lem2  40567  fourierdlem27  40771  fourierdlem28  40772  fourierdlem31  40775  fourierdlem33  40777  fourierdlem40  40784  fourierdlem41  40785  fourierdlem46  40789  fourierdlem47  40790  fourierdlem48  40791  fourierdlem49  40792  fourierdlem57  40800  fourierdlem59  40802  fourierdlem60  40803  fourierdlem61  40804  fourierdlem62  40805  fourierdlem64  40807  fourierdlem65  40808  fourierdlem68  40811  fourierdlem73  40816  fourierdlem76  40819  fourierdlem78  40821  fourierdlem84  40827  fourierdlem90  40833  fourierdlem92  40835  fourierdlem97  40840  fourierdlem103  40846  fourierdlem104  40847  fourierdlem111  40854  sqwvfoura  40865  sqwvfourb  40866  fourierswlem  40867  fouriersw  40868  etransclem23  40894  qndenserrnbllem  40934  ioorrnopnlem  40944  ioorrnopnxrlem  40946  hoiqssbllem1  41259  hoiqssbllem2  41260  iunhoiioolem  41312  pimiooltgt  41344  smfaddlem1  41394  smfmullem1  41421  smfmullem2  41422