Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooelexlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooelexlt 33540
Description: An element of an open interval is not its smallest element. (Contributed by ML, 2-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
iooelexlt (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑋

Proof of Theorem iooelexlt
StepHypRef Expression
1 eliooxr 12436 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
21simpld 476 . 2 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 elxr 12154 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
4 19.3v 2065 . . . . . 6 (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
5 ovex 6822 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ V
6 nfcv 2912 . . . . . . . 8 𝑦((𝐴 + 𝑋) / 2)
7 nfre1 3152 . . . . . . . 8 𝑦𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋
8 elioore 12409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
9 readdcl 10220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
109rehalfcld 11480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ)
118, 10sylan2 572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ)
1211ancoms 455 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ)
1312rexrd 10290 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ*)
14 eliooord 12437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑋𝑋 < 𝐵))
1514simpld 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑋)
1615adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝑋)
17 avglt1 11471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2)))
188, 17sylan2 572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝑋𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2)))
1918ancoms 455 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2)))
2016, 19mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2))
218rexrd 10290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ*)
2221adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ*)
231simprd 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2423adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25 avglt2 11472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
268, 25sylan2 572 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
2726ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
2816, 27mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋)
2914simprd 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑋 < 𝐵)
3029adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑋 < 𝐵)
3113, 22, 24, 28, 30xrlttrd 12194 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)
32 elioo1 12419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ*𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)))
331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ*𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)))
3433adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ*𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)))
3513, 20, 31, 34mpbir3and 1426 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
3635, 28jca 495 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
37 eleq1 2837 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵)))
38 breq1 4787 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → (𝑦 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
3937, 38anbi12d 608 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋)))
4036, 39syl5ibr 236 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋)))
41 rspe 3150 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
4240, 41syl6 35 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
436, 7, 42spcimgf 3435 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ V → (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
445, 43ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
454, 44sylbir 225 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
4645expcom 398 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
47 simpl 468 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵))
48 oveq1 6799 . . . . . . . . 9 (𝐴 = +∞ → (𝐴(,)𝐵) = (+∞(,)𝐵))
4948eleq2d 2835 . . . . . . . 8 (𝐴 = +∞ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵)))
5049adantl 467 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵)))
51 pnfxr 10293 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
52 elioo2 12420 . . . . . . . . . . . . 13 ((+∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋𝑋 < 𝐵)))
5351, 52mpan 662 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋𝑋 < 𝐵)))
5453biimpd 219 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋𝑋 < 𝐵)))
55 elioore 12409 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
56 rexr 10286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℝ*)
57 pnfnlt 12166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑋)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℝ → ¬ +∞ < 𝑋)
5958intn3an2d 1590 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℝ → ¬ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋𝑋 < 𝐵))
6055, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋𝑋 < 𝐵))
6160a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋𝑋 < 𝐵)))
6254, 61pm2.65d 187 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵))
6323, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵))
6463pm2.21d 119 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
6564adantr 466 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
6650, 65sylbid 230 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
6747, 66mpd 15 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
6867expcom 398 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
69 19.3v 2065 . . . . . 6 (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞))
70 ovex 6822 . . . . . . 7 (𝑋 − 1) ∈ V
71 nfcv 2912 . . . . . . . 8 𝑦(𝑋 − 1)
72 peano2rem 10549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
738, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
74 mnflt 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 − 1) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 − 1))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → -∞ < (𝑋 − 1))
7673rexrd 10290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ*)
778ltm1d 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) < 𝑋)
7876, 21, 23, 77, 29xrlttrd 12194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) < 𝐵)
79 mnfxr 10297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -∞ ∈ ℝ*
80 elioo2 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝑋 − 1) ∧ (𝑋 − 1) < 𝐵)))
8179, 80mpan 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℝ* → ((𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝑋 − 1) ∧ (𝑋 − 1) < 𝐵)))
8223, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝑋 − 1) ∧ (𝑋 − 1) < 𝐵)))
8373, 75, 78, 82mpbir3and 1426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵))
8483adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵))
85 oveq1 6799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = -∞ → (𝐴(,)𝐵) = (-∞(,)𝐵))
8685eleq2d 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = -∞ → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵)))
8786adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵)))
8884, 87mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵))
8977adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝑋 − 1) < 𝑋)
9088, 89jca 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋))
9190adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋))
92 eleq1 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑋 − 1) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵)))
93 breq1 4787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑋 − 1) → (𝑦 < 𝑋 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑋))
9492, 93anbi12d 608 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑋 − 1) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋)))
9594adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋)))
9691, 95mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋))
9796, 41syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
9897expcom 398 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑋 − 1) → ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
9971, 7, 98spcimgf 3435 . . . . . . 7 ((𝑋 − 1) ∈ V → (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
10070, 99ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
10169, 100sylbir 225 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
102101expcom 398 . . . 4 (𝐴 = -∞ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
10346, 68, 1023jaoi 1538 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
1043, 103sylbi 207 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
1052, 104mpcom 38 1 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3o 1069  w3a 1070  wal 1628   = wceq 1630  wcel 2144  wrex 3061  Vcvv 3349   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  cr 10136  1c1 10138   + caddc 10140  +∞cpnf 10272  -∞cmnf 10273  *cxr 10274   < clt 10275  cmin 10467   / cdiv 10885  2c2 11271  (,)cioo 12379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-2 11280  df-ioo 12383
This theorem is referenced by:  relowlpssretop  33542
  Copyright terms: Public domain W3C validator