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Theorem ioodvbdlimc1lem2 40465
Description: Limit at the lower bound of an open interval, for a function with bounded derivative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ioodvbdlimc1lem2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc1lem2.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc1lem2.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
ioodvbdlimc1lem2.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
ioodvbdlimc1lem2.dmdv (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
ioodvbdlimc1lem2.dvbd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
ioodvbdlimc1lem2.y 𝑌 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
ioodvbdlimc1lem2.m 𝑀 = ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)
ioodvbdlimc1lem2.s 𝑆 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))
ioodvbdlimc1lem2.r 𝑅 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐴 + (1 / 𝑗)))
ioodvbdlimc1lem2.n 𝑁 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀)
ioodvbdlimc1lem2.ch (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)))
Assertion
Ref Expression
ioodvbdlimc1lem2 (𝜑 → (lim sup‘𝑆) ∈ (𝐹 lim 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑧,𝑦   𝐵,𝑗,𝑥,𝑧,𝑦   𝑗,𝐹,𝑥,𝑧,𝑦   𝑗,𝑀,𝑥,𝑦   𝑗,𝑁,𝑧   𝑅,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑗,𝑦,𝑧   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥,𝑗,𝑧,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜒(𝑥,𝑦,𝑧,𝑗)   𝑅(𝑧)   𝑀(𝑧)   𝑁(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑦,𝑧,𝑗)

Proof of Theorem ioodvbdlimc1lem2
Dummy variables 𝑏 𝑘 𝑖 𝑙 𝑚 𝑤 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzssz 11745 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
2 zssre 11422 . . . . . 6 ℤ ⊆ ℝ
31, 2sstri 3645 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑀) ⊆ ℝ)
5 ioodvbdlimc1lem2.m . . . . . . 7 𝑀 = ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)
6 ioodvbdlimc1lem2.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7 ioodvbdlimc1lem2.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
86, 7resubcld 10496 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
9 ioodvbdlimc1lem2.altb . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 < 𝐵)
107, 6posdifd 10652 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
119, 10mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
1211gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
138, 12rereccld 10890 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
14 0red 10079 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
158, 11recgt0d 10996 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (1 / (𝐵𝐴)))
1614, 13, 15ltled 10223 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (1 / (𝐵𝐴)))
17 flge0nn0 12661 . . . . . . . . 9 (((1 / (𝐵𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (𝐵𝐴))) → (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℕ0)
1813, 16, 17syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℕ0)
19 peano2nn0 11371 . . . . . . . 8 ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
215, 20syl5eqel 2734 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
2221nn0zd 11518 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
23 eqid 2651 . . . . . 6 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2423uzsup 12702 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → sup((ℤ𝑀), ℝ*, < ) = +∞)
2522, 24syl 17 . . . 4 (𝜑 → sup((ℤ𝑀), ℝ*, < ) = +∞)
26 ioodvbdlimc1lem2.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
2726adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
287rexrd 10127 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2928adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
306rexrd 10127 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3130adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
327adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
33 eluzelre 11736 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
3433adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
35 0red 10079 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
36 0red 10079 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 0 ∈ ℝ)
37 1red 10093 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 1 ∈ ℝ)
3836, 37readdcld 10107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → (0 + 1) ∈ ℝ)
3938adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (0 + 1) ∈ ℝ)
4036ltp1d 10992 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 0 < (0 + 1))
4140adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < (0 + 1))
42 eluzel2 11730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4342zred 11520 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
4443adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4513flcld 12639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℤ)
4645zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℝ)
47 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4818nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))))
4914, 46, 47, 48leadd1dd 10679 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 + 1) ≤ ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))
5049, 5syl6breqr 4727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 + 1) ≤ 𝑀)
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (0 + 1) ≤ 𝑀)
52 eluzle 11738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑗)
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑗)
5439, 44, 34, 51, 53letrd 10232 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (0 + 1) ≤ 𝑗)
5535, 39, 34, 41, 54ltletrd 10235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 𝑗)
5655gt0ne0d 10630 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ≠ 0)
5734, 56rereccld 10890 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
5832, 57readdcld 10107 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 + (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
5934, 55elrpd 11907 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ+)
6059rpreccld 11920 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ+)
6132, 60ltaddrpd 11943 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 < (𝐴 + (1 / 𝑗)))
6221nn0red 11390 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
6314, 47readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℝ)
6446, 47readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
6514ltp1d 10992 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (0 + 1))
6614, 63, 64, 65, 49ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))
6766, 5syl6breqr 4727 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑀)
6867gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ≠ 0)
6962, 68rereccld 10890 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
7069adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
7132, 70readdcld 10107 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 + (1 / 𝑀)) ∈ ℝ)
726adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7362, 67elrpd 11907 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
7473adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ+)
75 1red 10093 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
76 0le1 10589 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
7776a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ≤ 1)
7874, 59, 75, 77, 53lediv2ad 11932 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑗) ≤ (1 / 𝑀))
7957, 70, 32, 78leadd2dd 10680 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 + (1 / 𝑗)) ≤ (𝐴 + (1 / 𝑀)))
805eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) = 𝑀
8180oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . 12 (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) = (1 / 𝑀)
8281, 69syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) ∈ ℝ)
8313, 15elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / (𝐵𝐴)) ∈ ℝ+)
8464, 66elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℝ+)
85 1rp 11874 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ+
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
87 fllelt 12638 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / (𝐵𝐴)) ∈ ℝ → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ≤ (1 / (𝐵𝐴)) ∧ (1 / (𝐵𝐴)) < ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)))
8813, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ≤ (1 / (𝐵𝐴)) ∧ (1 / (𝐵𝐴)) < ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)))
8988simprd 478 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / (𝐵𝐴)) < ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))
9083, 84, 86, 89ltdiv2dd 39821 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) < (1 / (1 / (𝐵𝐴))))
918recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
9291, 12recrecd 10836 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / (1 / (𝐵𝐴))) = (𝐵𝐴))
9390, 92breqtrd 4711 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) < (𝐵𝐴))
9482, 8, 7, 93ltadd2dd 10234 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))) < (𝐴 + (𝐵𝐴)))
955oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 𝑀) = (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))
9695oveq2i 6701 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 + (1 / 𝑀)) = (𝐴 + (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)))
9796a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 𝑀)) = (𝐴 + (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))))
987recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
996recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
10098, 99pncan3d 10433 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
101100eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = (𝐴 + (𝐵𝐴)))
10294, 97, 1013brtr4d 4717 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 𝑀)) < 𝐵)
103102adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 + (1 / 𝑀)) < 𝐵)
10458, 71, 72, 79, 103lelttrd 10233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 + (1 / 𝑗)) < 𝐵)
10529, 31, 58, 61, 104eliood 40038 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 + (1 / 𝑗)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
10627, 105ffvelrnd 6400 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) ∈ ℝ)
107 ioodvbdlimc1lem2.s . . . . 5 𝑆 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))
108106, 107fmptd 6425 . . . 4 (𝜑𝑆:(ℤ𝑀)⟶ℝ)
109 ioodvbdlimc1lem2.dmdv . . . . . 6 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
110 ioodvbdlimc1lem2.dvbd . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
1117, 6, 9, 26, 109, 110dvbdfbdioo 40463 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
11262adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) → 𝑀 ∈ ℝ)
113 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
114107fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) ∈ ℝ) → (𝑆𝑗) = (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))
115113, 106, 114syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑆𝑗) = (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))
116115fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝑆𝑗)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗)))))
117116adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝑆𝑗)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗)))))
118 simplr 807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
119105adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 + (1 / 𝑗)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
120 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐴 + (1 / 𝑗)) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))
121120fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐴 + (1 / 𝑗)) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗)))))
122121breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐴 + (1 / 𝑗)) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘(𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗)))) ≤ 𝑏))
123122rspccva 3339 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 ∧ (𝐴 + (1 / 𝑗)) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗)))) ≤ 𝑏)
124118, 119, 123syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗)))) ≤ 𝑏)
125117, 124eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)
126125a1d 25 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
127126ralrimiva 2995 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
128 breq1 4688 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘𝑗𝑀𝑗))
129128imbi1d 330 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑀 → ((𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏) ↔ (𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)))
130129ralbidv 3015 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏) ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)))
131130rspcev 3340 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
132112, 127, 131syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
133132ex 449 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)))
134133reximdv 3045 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)))
135111, 134mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
1364, 25, 108, 135limsupre 40191 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝑆) ∈ ℝ)
137136recnd 10106 . 2 (𝜑 → (lim sup‘𝑆) ∈ ℂ)
138 eluzelre 11736 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
139138adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
140 0red 10079 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
14145peano2zd 11523 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℤ)
1425, 141syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
143142adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
144143zred 11520 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
145144adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
14667ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < 𝑀)
147 ioodvbdlimc1lem2.n . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀)
148 ioodvbdlimc1lem2.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑌 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
149 ioomidp 40058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
1507, 6, 9, 149syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
151 ne0i 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
152150, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
153 ioossre 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
155 dvfre 23759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
15626, 154, 155syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
157109feq2d 6069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
158156, 157mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
159158ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
160159recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
161160abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
162 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
163 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
164152, 161, 110, 162, 163suprnmpt 39669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )))
165164simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) ∈ ℝ)
166148, 165syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
167166adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ ℝ)
168 rpre 11877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
169168rehalfcld 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
170169adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
171168recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
172171adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
173 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
174 rpne0 11886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
175174adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
176 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≠ 0
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
178172, 173, 175, 177divne0d 10855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ≠ 0)
179167, 170, 178redivcld 10891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
180179flcld 12639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) ∈ ℤ)
181180peano2zd 11523 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℤ)
182181, 143ifcld 4164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
183147, 182syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℤ)
184183zred 11520 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℝ)
185184adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
186181zred 11520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℝ)
187 max1 12054 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀))
188144, 186, 187syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀))
189188, 147syl6breqr 4727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀𝑁)
190189adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀𝑁)
191 eluzle 11738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑗)
192191adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑗)
193145, 185, 139, 190, 192letrd 10232 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀𝑗)
194140, 145, 139, 146, 193ltletrd 10235 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < 𝑗)
195194gt0ne0d 10630 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ≠ 0)
196139, 195rereccld 10890 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
197139, 194recgt0d 10996 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < (1 / 𝑗))
198196, 197elrpd 11907 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ+)
199198adantr 480 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ+)
200 ioodvbdlimc1lem2.ch . . . . . . . . 9 (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)))
201200biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)))
202 simp-5l 825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)) → 𝜑)
203201, 202syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝜑)
204203, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
205201simplrd 808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
206204, 205ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
207206recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
208203, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑆:(ℤ𝑀)⟶ℝ)
209 simp-5r 826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
210201, 209syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑥 ∈ ℝ+)
211 eluz2 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
212143, 183, 189, 211syl3anbrc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
213203, 210, 212syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
214 uzss 11746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
215213, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
216 simp-4r 824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑁))
217201, 216syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑗 ∈ (ℤ𝑁))
218215, 217sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
219208, 218ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑆𝑗) ∈ ℝ)
220219recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑆𝑗) ∈ ℂ)
221203, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (lim sup‘𝑆) ∈ ℂ)
222207, 220, 221npncand 10454 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) = ((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆)))
223222eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆)) = (((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))))
224223fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) = (abs‘(((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))))
225206, 219resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) ∈ ℝ)
226203, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (lim sup‘𝑆) ∈ ℝ)
227219, 226resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)) ∈ ℝ)
228225, 227readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) ∈ ℝ)
229228recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) ∈ ℂ)
230229abscld 14219 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → (abs‘(((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) ∈ ℝ)
231225recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) ∈ ℂ)
232231abscld 14219 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) ∈ ℝ)
233227recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)) ∈ ℂ)
234233abscld 14219 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) ∈ ℝ)
235232, 234readdcld 10107 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) + (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) ∈ ℝ)
236210rpred 11910 . . . . . . . . . . 11 (𝜒𝑥 ∈ ℝ)
237231, 233abstrid 14239 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → (abs‘(((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) ≤ ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) + (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))))
238236rehalfcld 11317 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
239207, 220abssubd 14236 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) = (abs‘((𝑆𝑗) − (𝐹𝑧))))
240203, 218, 115syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑆𝑗) = (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))
241240oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑆𝑗) − (𝐹𝑧)) = ((𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) − (𝐹𝑧)))
242241fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (abs‘((𝑆𝑗) − (𝐹𝑧))) = (abs‘((𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) − (𝐹𝑧))))
243203, 218, 106syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) ∈ ℝ)
244243, 206resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ((𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) − (𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
245244recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) − (𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
246245abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) − (𝐹𝑧))) ∈ ℝ)
247203, 166syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑌 ∈ ℝ)
248203, 218, 58syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝐴 + (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
249153, 205sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑧 ∈ ℝ)
250248, 249resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝐴 + (1 / 𝑗)) − 𝑧) ∈ ℝ)
251247, 250remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑌 · ((𝐴 + (1 / 𝑗)) − 𝑧)) ∈ ℝ)
252203, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝐴 ∈ ℝ)
253203, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝐵 ∈ ℝ)
254203, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
255164simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ))
256148breq2i 4693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌 ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ))
257256ralbii 3009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ))
258255, 257sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌)
259203, 258syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌)
260 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
261260fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = 𝑥 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
262261breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 𝑥 → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) ≤ 𝑌 ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌))
263262cbvralv 3201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌)
264259, 263sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) ≤ 𝑌)
265249rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑧 ∈ ℝ*)
266203, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝐵 ∈ ℝ*)
267249, 252resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑧𝐴) ∈ ℝ)
268267recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑧𝐴) ∈ ℂ)
269268abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (abs‘(𝑧𝐴)) ∈ ℝ)
2703, 218sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝑗 ∈ ℝ)
271203, 218, 56syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝑗 ≠ 0)
272270, 271rereccld 10890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
273267leabsd 14197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑧𝐴) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)))
274201simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗))
275267, 269, 272, 273, 274lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑧𝐴) < (1 / 𝑗))
276249, 252, 272ltsubadd2d 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝑧𝐴) < (1 / 𝑗) ↔ 𝑧 < (𝐴 + (1 / 𝑗))))
277275, 276mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑧 < (𝐴 + (1 / 𝑗)))
278203, 218, 104syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝐴 + (1 / 𝑗)) < 𝐵)
279265, 266, 248, 277, 278eliood 40038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝐴 + (1 / 𝑗)) ∈ (𝑧(,)𝐵))
280252, 253, 204, 254, 247, 264, 205, 279dvbdfbdioolem1 40461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((abs‘((𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) − (𝐹𝑧))) ≤ (𝑌 · ((𝐴 + (1 / 𝑗)) − 𝑧)) ∧ (abs‘((𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) − (𝐹𝑧))) ≤ (𝑌 · (𝐵𝐴))))
281280simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) − (𝐹𝑧))) ≤ (𝑌 · ((𝐴 + (1 / 𝑗)) − 𝑧)))
282203, 218, 57syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
283247, 282remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
284158, 150ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
285284recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
286285abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
287285absge0d 14227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
288 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))
289288fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
290148eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) = 𝑌
291290a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) = 𝑌)
292289, 291breq12d 4698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝑌))
293292rspcva 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝑌)
294150, 255, 293syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝑌)
29514, 286, 166, 287, 294letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
296203, 295syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → 0 ≤ 𝑌)
297203, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝐴 ∈ ℝ*)
298 ioogtlb 40035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑧)
299297, 266, 205, 298syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒𝐴 < 𝑧)
300252, 249, 248, 299ltsub2dd 10678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝐴 + (1 / 𝑗)) − 𝑧) < ((𝐴 + (1 / 𝑗)) − 𝐴))
301203, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒𝐴 ∈ ℂ)
302282recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (1 / 𝑗) ∈ ℂ)
303301, 302pncan2d 10432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝐴 + (1 / 𝑗)) − 𝐴) = (1 / 𝑗))
304300, 303breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → ((𝐴 + (1 / 𝑗)) − 𝑧) < (1 / 𝑗))
305250, 272, 304ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ((𝐴 + (1 / 𝑗)) − 𝑧) ≤ (1 / 𝑗))
306250, 272, 247, 296, 305lemul2ad 11002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑌 · ((𝐴 + (1 / 𝑗)) − 𝑧)) ≤ (𝑌 · (1 / 𝑗)))
307283adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
308238adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
309 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑌 = 0 → (𝑌 · (1 / 𝑗)) = (0 · (1 / 𝑗)))
310302mul02d 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (0 · (1 / 𝑗)) = 0)
311309, 310sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) = 0)
312210rphalfcld 11922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
313312rpgt0d 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → 0 < (𝑥 / 2))
314313adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑌 = 0) → 0 < (𝑥 / 2))
315311, 314eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) < (𝑥 / 2))
316307, 308, 315ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑥 / 2))
317247adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ ℝ)
318296adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 0 ≤ 𝑌)
319 neqne 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑌 = 0 → 𝑌 ≠ 0)
320319adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ≠ 0)
321317, 318, 320ne0gt0d 10212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 0 < 𝑌)
322283adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
3233, 213sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒𝑁 ∈ ℝ)
324 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → 0 ∈ ℝ)
325203, 210, 144syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒𝑀 ∈ ℝ)
326203, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → 0 < 𝑀)
327203, 210, 189syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒𝑀𝑁)
328324, 325, 323, 326, 327ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → 0 < 𝑁)
329328gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒𝑁 ≠ 0)
330323, 329rereccld 10890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
331247, 330remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑌 · (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
332331adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
333238adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
334282adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
335330adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
336247adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
337296adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 ≤ 𝑌)
338323, 328elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒𝑁 ∈ ℝ+)
339203, 218, 59syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒𝑗 ∈ ℝ+)
340 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → 1 ∈ ℝ)
34176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → 0 ≤ 1)
342217, 191syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒𝑁𝑗)
343338, 339, 340, 341, 342lediv2ad 11932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (1 / 𝑗) ≤ (1 / 𝑁))
344343adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / 𝑗) ≤ (1 / 𝑁))
345334, 335, 336, 337, 344lemul2ad 11002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑌 · (1 / 𝑁)))
346236recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒𝑥 ∈ ℂ)
347 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒 → 2 ∈ ℂ)
348210rpne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒𝑥 ≠ 0)
349176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒 → 2 ≠ 0)
350346, 347, 348, 349divne0d 10855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → (𝑥 / 2) ≠ 0)
351247, 238, 350redivcld 10891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
352351adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
353 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 < 𝑌)
354313adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 < (𝑥 / 2))
355336, 333, 353, 354divgt0d 10997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 < (𝑌 / (𝑥 / 2)))
356352, 355elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ+)
357356rprecred 11921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2))) ∈ ℝ)
358338adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 𝑁 ∈ ℝ+)
359 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 1 ∈ ℝ)
36076a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 ≤ 1)
361351flcld 12639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜒 → (⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) ∈ ℤ)
362361peano2zd 11523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒 → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℤ)
363362zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℝ)
364203, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜒𝑀 ∈ ℤ)
365362, 364ifcld 4164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜒 → if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
366147, 365syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒𝑁 ∈ ℤ)
367366zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒𝑁 ∈ ℝ)
368 flltp1 12641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ → (𝑌 / (𝑥 / 2)) < ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1))
369351, 368syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → (𝑌 / (𝑥 / 2)) < ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1))
370203, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜒𝑀 ∈ ℝ)
371 max2 12056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀))
372370, 363, 371syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒 → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀))
373372, 147syl6breqr 4727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ≤ 𝑁)
374351, 363, 367, 369, 373ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → (𝑌 / (𝑥 / 2)) < 𝑁)
375351, 323, 374ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ≤ 𝑁)
376375adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ≤ 𝑁)
377356, 358, 359, 360, 376lediv2ad 11932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / 𝑁) ≤ (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2))))
378335, 357, 336, 337, 377lemul2ad 11002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑁)) ≤ (𝑌 · (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2)))))
379336recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℂ)
380352recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
381355gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ≠ 0)
382379, 380, 381divrecd 10842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑌 / (𝑥 / 2))) = (𝑌 · (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2)))))
383333recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
384353gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 𝑌 ≠ 0)
385350adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑥 / 2) ≠ 0)
386379, 383, 384, 385ddcand 10859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑌 / (𝑥 / 2))) = (𝑥 / 2))
387382, 386eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2)))) = (𝑥 / 2))
388378, 387breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑁)) ≤ (𝑥 / 2))
389322, 332, 333, 345, 388letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑥 / 2))
390321, 389syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑥 / 2))
391316, 390pm2.61dan 849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑥 / 2))
392251, 283, 238, 306, 391letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑌 · ((𝐴 + (1 / 𝑗)) − 𝑧)) ≤ (𝑥 / 2))
393246, 251, 238, 281, 392letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) − (𝐹𝑧))) ≤ (𝑥 / 2))
394242, 393eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (abs‘((𝑆𝑗) − (𝐹𝑧))) ≤ (𝑥 / 2))
395239, 394eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) ≤ (𝑥 / 2))
396 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
397201, 396syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
398232, 234, 238, 238, 395, 397leltaddd 10687 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) + (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) < ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)))
3993462halvesd 11316 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)) = 𝑥)
400398, 399breqtrd 4711 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) + (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) < 𝑥)
401230, 235, 236, 237, 400lelttrd 10233 . . . . . . . . . 10 (𝜒 → (abs‘(((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) < 𝑥)
402224, 401eqbrtrd 4707 . . . . . . . . 9 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥)
403200, 402sylbir 225 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥)
404403adantrl 752 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗))) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥)
405404ex 449 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
406405ralrimiva 2995 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
407 breq2 4689 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (1 / 𝑗) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)))
408407anbi2d 740 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 / 𝑗) → ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗))))
409408imbi1d 330 . . . . . . 7 (𝑦 = (1 / 𝑗) → (((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥)))
410409ralbidv 3015 . . . . . 6 (𝑦 = (1 / 𝑗) → (∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥)))
411410rspcev 3340 . . . . 5 (((1 / 𝑗) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
412199, 406, 411syl2anc 694 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
413 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
414413iftrued 4127 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) = 𝑁)
415 uzid 11740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
416183, 415syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
417416adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
418414, 417eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
419418adantlr 751 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
420 iffalse 4128 . . . . . . . . . 10 𝑏𝑁 → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) = 𝑏)
421420adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) = 𝑏)
422183ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
423 simplr 807 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑏 ∈ ℤ)
424422zred 11520 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
425423zred 11520 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑏 ∈ ℝ)
426 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → ¬ 𝑏𝑁)
427424, 425ltnled 10222 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → (𝑁 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏𝑁))
428426, 427mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑁 < 𝑏)
429424, 425, 428ltled 10223 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑁𝑏)
430 eluz2 11731 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑏))
431422, 423, 429, 430syl3anbrc 1265 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑏 ∈ (ℤ𝑁))
432421, 431eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
433419, 432pm2.61dan 849 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
434433adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
435 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
436 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
437183adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
438437, 436ifcld 4164 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ ℤ)
439436zred 11520 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℝ)
440437zred 11520 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
441 max1 12054 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑏 ≤ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏))
442439, 440, 441syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ≤ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏))
443 eluz2 11731 . . . . . . . . . 10 (if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑏) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ≤ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)))
444436, 438, 442, 443syl3anbrc 1265 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑏))
445444adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑏))
446 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (𝑆𝑐) = (𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)))
447446eleq1d 2715 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → ((𝑆𝑐) ∈ ℂ ↔ (𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) ∈ ℂ))
448446oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → ((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆)) = ((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆)))
449448fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) = (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))))
450449breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → ((abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
451447, 450anbi12d 747 . . . . . . . . 9 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ↔ ((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))))
452451rspccva 3339 . . . . . . . 8 ((∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑏)) → ((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
453435, 445, 452syl2anc 694 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → ((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
454453simprd 478 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
455 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (𝑆𝑗) = (𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)))
456455oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝑗 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)) = ((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆)))
457456fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑗 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) = (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))))
458457breq1d 4695 . . . . . . 7 (𝑗 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → ((abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
459458rspcev 3340 . . . . . 6 ((if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁) ∧ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
460434, 454, 459syl2anc 694 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
461 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
462461a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
46326, 462fssd 6095 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
464 dvcn 23729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
465462, 463, 154, 109, 464syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
466 cncffvrn 22748 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
467462, 465, 466syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
46826, 467mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
469 ioodvbdlimc1lem2.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐴 + (1 / 𝑗)))
470105, 469fmptd 6425 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅:(ℤ𝑀)⟶(𝐴(,)𝐵))
471 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗))) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗)))
472 climrel 14267 . . . . . . . . . . . . 13 Rel ⇝
473472a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Rel ⇝ )
474 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑀) ∈ V
475474mptex 6527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴) ∈ V
476475a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴) ∈ V)
477 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴))
478 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑗 = 𝑚) → 𝐴 = 𝐴)
479 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
4807adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
481477, 478, 479, 480fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴)‘𝑚) = 𝐴)
48223, 142, 476, 98, 481climconst 14318 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴) ⇝ 𝐴)
483474mptex 6527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐴 + (1 / 𝑗))) ∈ V
484469, 483eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑅 ∈ V
485484a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ V)
486 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
487 elnnnn0b 11375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑀))
48821, 67, 487sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
489 divcnvg 40177 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗)) ⇝ 0)
490486, 488, 489syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗)) ⇝ 0)
491 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴))
492 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑗 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐴)
493 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
4947adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
495491, 492, 493, 494fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴)‘𝑖) = 𝐴)
49698adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
497495, 496eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
498 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗)) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗)))
499 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑖 → (1 / 𝑗) = (1 / 𝑖))
500499adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑗 = 𝑖) → (1 / 𝑗) = (1 / 𝑖))
5013, 493sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ)
502 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
50362adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
50467adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 𝑀)
505 eluzle 11738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑖)
506505adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑖)
507502, 503, 501, 504, 506ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 𝑖)
508507gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ≠ 0)
509501, 508rereccld 10890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑖) ∈ ℝ)
510498, 500, 493, 509fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗))‘𝑖) = (1 / 𝑖))
511501recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℂ)
512511, 508reccld 10832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑖) ∈ ℂ)
513510, 512eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗))‘𝑖) ∈ ℂ)
514469a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑅 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐴 + (1 / 𝑗))))
515499oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑖 → (𝐴 + (1 / 𝑗)) = (𝐴 + (1 / 𝑖)))
516515adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑗 = 𝑖) → (𝐴 + (1 / 𝑗)) = (𝐴 + (1 / 𝑖)))
517494, 509readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 + (1 / 𝑖)) ∈ ℝ)
518514, 516, 493, 517fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑅𝑖) = (𝐴 + (1 / 𝑖)))
519495, 510oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴)‘𝑖) + ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗))‘𝑖)) = (𝐴 + (1 / 𝑖)))
520518, 519eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑅𝑖) = (((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴)‘𝑖) + ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗))‘𝑖)))
52123, 142, 482, 485, 490, 497, 513, 520climadd 14406 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ⇝ (𝐴 + 0))
52298addid1d 10274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
523521, 522breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅𝐴)
524 releldm 5390 . . . . . . . . . . . 12 ((Rel ⇝ ∧ 𝑅𝐴) → 𝑅 ∈ dom ⇝ )
525473, 523, 524syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ dom ⇝ )
526 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = 𝑘 → (ℤ𝑙) = (ℤ𝑘))
527 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = 𝑘 → (𝑅𝑙) = (𝑅𝑘))
528527oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = 𝑘 → ((𝑅) − (𝑅𝑙)) = ((𝑅) − (𝑅𝑘)))
529528fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = 𝑘 → (abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) = (abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))))
530529breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = 𝑘 → ((abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ (abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
531526, 530raleqbidv 3182 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = 𝑘 → (∀ ∈ (ℤ𝑙)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
532531cbvrabv 3230 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑙 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑙)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} = {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}
533 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( = 𝑖 → (𝑅) = (𝑅𝑖))
534533oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( = 𝑖 → ((𝑅) − (𝑅𝑘)) = ((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘)))
535534fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( = 𝑖 → (abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) = (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))))
536535breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( = 𝑖 → ((abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
537536cbvralv 3201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
538537rgenw 2953 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
539 rabbi 3150 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))) ↔ {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} = {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))})
540538, 539mpbi 220 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} = {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}
541532, 540eqtri 2673 . . . . . . . . . . . 12 {𝑙 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑙)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} = {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}
542541infeq1i 8425 . . . . . . . . . . 11 inf({𝑙 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑙)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}, ℝ, < ) = inf({𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}, ℝ, < )
5437, 6, 9, 468, 109, 110, 22, 470, 471, 525, 542ioodvbdlimc1lem1 40464 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗))) ⇝ (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗)))))
544469fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐴 + (1 / 𝑗)) ∈ ℝ) → (𝑅𝑗) = (𝐴 + (1 / 𝑗)))
545113, 58, 544syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑅𝑗) = (𝐴 + (1 / 𝑗)))
546545eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 + (1 / 𝑗)) = (𝑅𝑗))
547546fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) = (𝐹‘(𝑅𝑗)))
548547mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗)))) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗))))
549107, 548syl5eq 2697 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗))))
550549fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (lim sup‘𝑆) = (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗)))))
551543, 549, 5503brtr4d 4717 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⇝ (lim sup‘𝑆))
552474mptex 6527 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗)))) ∈ V
553107, 552eqeltri 2726 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ∈ V
554553a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ V)
555 eqidd 2652 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ ℤ) → (𝑆𝑐) = (𝑆𝑐))
556554, 555clim 14269 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 ⇝ (lim sup‘𝑆) ↔ ((lim sup‘𝑆) ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎))))
557551, 556mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((lim sup‘𝑆) ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎)))
558557simprd 478 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎))
559558adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎))
560 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
561560rphalfcld 11922 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
562 breq2 4689 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑥 / 2) → ((abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎 ↔ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
563562anbi2d 740 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑥 / 2) → (((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎) ↔ ((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))))
564563rexralbidv 3087 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑥 / 2) → (∃𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))))
565564rspccva 3339 . . . . . 6 ((∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎) ∧ (𝑥 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
566559, 561, 565syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
567460, 566r19.29a 3107 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
568412, 567r19.29a 3107 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
569568ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
570 ioosscn 40034 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
571570a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
572463, 571, 98ellimc3 23688 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝑆) ∈ (𝐹 lim 𝐴) ↔ ((lim sup‘𝑆) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))))
573137, 569, 572mpbir2and 977 1 (𝜑 → (lim sup‘𝑆) ∈ (𝐹 lim 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  Rel wrel 5148  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  supcsup 8387  infcinf 8388  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  (,)cioo 12213  cfl 12631  abscabs 14018  lim supclsp 14245  cli 14259  cnccncf 22726   lim climc 23671   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1  40466
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