Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioodvbdlimc1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioodvbdlimc1lem1 40641
Description: If 𝐹 has bounded derivative on (𝐴(,)𝐵) then a sequence of points in its image converges to its lim sup. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ioodvbdlimc1lem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc1lem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc1lem1.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
ioodvbdlimc1lem1.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
ioodvbdlimc1lem1.dmdv (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
ioodvbdlimc1lem1.dvbd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
ioodvbdlimc1lem1.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ioodvbdlimc1lem1.r (𝜑𝑅:(ℤ𝑀)⟶(𝐴(,)𝐵))
ioodvbdlimc1lem1.s 𝑆 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗)))
ioodvbdlimc1lem1.rcnv (𝜑𝑅 ∈ dom ⇝ )
ioodvbdlimc1lem1.k 𝐾 = inf({𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
ioodvbdlimc1lem1 (𝜑𝑆 ⇝ (lim sup‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑘,𝑥,𝑧   𝑦,𝐴,𝑖,𝑥,𝑧   𝐵,𝑖,𝑘,𝑥,𝑧   𝑦,𝐵   𝑖,𝐹,𝑗,𝑥   𝑘,𝐹,𝑧   𝑦,𝐹   𝑖,𝐾,𝑗   𝑘,𝐾   𝑦,𝐾   𝑖,𝑀,𝑗,𝑥   𝑘,𝑀   𝑅,𝑖,𝑗   𝑅,𝑘   𝑦,𝑅   𝑆,𝑖,𝑘,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑥   𝜑,𝑘   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝑅(𝑥,𝑧)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑗)   𝐾(𝑥,𝑧)   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ioodvbdlimc1lem1
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2752 . 2 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 ioodvbdlimc1lem1.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
3 cncff 22889 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
54adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
6 ioodvbdlimc1lem1.r . . . . 5 (𝜑𝑅:(ℤ𝑀)⟶(𝐴(,)𝐵))
76ffvelrnda 6514 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑅𝑗) ∈ (𝐴(,)𝐵))
85, 7ffvelrnd 6515 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹‘(𝑅𝑗)) ∈ ℝ)
9 ioodvbdlimc1lem1.s . . 3 𝑆 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗)))
108, 9fmptd 6540 . 2 (𝜑𝑆:(ℤ𝑀)⟶ℝ)
11 ssrab2 3820 . . . . 5 {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} ⊆ (ℤ𝑀)
12 ioodvbdlimc1lem1.k . . . . . 6 𝐾 = inf({𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}, ℝ, < )
13 rpre 12024 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
1413adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
15 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
1615fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑥 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
1716cbvmptv 4894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
1817rneqi 5499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) = ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
1918supeq1i 8510 . . . . . . . . . . . . . 14 sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
20 ioodvbdlimc1lem1.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21 ioodvbdlimc1lem1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
22 ioodvbdlimc1lem1.altb . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 < 𝐵)
23 ioomidp 40235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
25 ne0i 4056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
27 ioossre 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
29 dvfre 23905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
304, 28, 29syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
31 ioodvbdlimc1lem1.dmdv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
3231feq2d 6184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
3330, 32mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
34 ax-resscn 10177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ ⊆ ℂ
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3633, 35fssd 6210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
3736ffvelrnda 6514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
3837abscld 14366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
39 ioodvbdlimc1lem1.dvbd . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
40 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
41 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
4226, 38, 39, 40, 41suprnmpt 39846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )))
4342simpld 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) ∈ ℝ)
4419, 43syl5eqel 2835 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) ∈ ℝ)
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) ∈ ℝ)
46 peano2re 10393 . . . . . . . . . . . 12 (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) ∈ ℝ → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
48 0red 10225 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
49 1red 10239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
5048, 49readdcld 10253 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℝ)
5144, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
5248ltp1d 11138 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (0 + 1))
5336, 24ffvelrnd 6515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
5453abscld 14366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
5553absge0d 14374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
5642simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ))
57 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5857fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
5919a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ))
6058, 59breq12d 4809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )))
6160cbvralv 3302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ))
6256, 61sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ))
63 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))
6463fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
6564breq1d 4806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < )))
6665rspcva 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < )) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ))
6724, 62, 66syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ))
6848, 54, 44, 55, 67letrd 10378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ))
6948, 44, 49, 68leadd1dd 10825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 + 1) ≤ (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))
7048, 50, 51, 52, 69ltletrd 10381 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))
7170gt0ne0d 10776 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) ≠ 0)
7271adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) ≠ 0)
7314, 47, 72redivcld 11037 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
74 rpgt0 12029 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
7574adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑥)
7670adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))
7714, 47, 75, 76divgt0d 11143 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
7873, 77elrpd 12054 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ+)
79 ioodvbdlimc1lem1.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8079adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
81 ioodvbdlimc1lem1.rcnv . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ dom ⇝ )
8281adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ dom ⇝ )
831climcau 14592 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑘 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < 𝑤)
8480, 82, 83syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑘 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < 𝑤)
85 breq2 4800 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) → ((abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < 𝑤 ↔ (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
8685rexralbidv 3188 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) → (∃𝑘 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < 𝑤 ↔ ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
8786rspcva 3439 . . . . . . . . 9 (((𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑘 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < 𝑤) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
8878, 84, 87syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
89 rabn0 4093 . . . . . . . 8 ({𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
9088, 89sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} ≠ ∅)
91 infssuzcl 11957 . . . . . . 7 (({𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} ⊆ (ℤ𝑀) ∧ {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} ≠ ∅) → inf({𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))})
9211, 90, 91sylancr 698 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → inf({𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))})
9312, 92syl5eqel 2835 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐾 ∈ {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))})
9411, 93sseldi 3734 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
959a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑆 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗))))
96 fveq2 6344 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑖 → (𝑅𝑗) = (𝑅𝑖))
9796fveq2d 6348 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝐹‘(𝑅𝑗)) = (𝐹‘(𝑅𝑖)))
9897adantl 473 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑗 = 𝑖) → (𝐹‘(𝑅𝑗)) = (𝐹‘(𝑅𝑖)))
99 uzss 11892 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
10094, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
101100sselda 3736 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
1024ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
1036ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑅:(ℤ𝑀)⟶(𝐴(,)𝐵))
104103, 101ffvelrnd 6515 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑅𝑖) ∈ (𝐴(,)𝐵))
105102, 104ffvelrnd 6515 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹‘(𝑅𝑖)) ∈ ℝ)
10695, 98, 101, 105fvmptd 6442 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑆𝑖) = (𝐹‘(𝑅𝑖)))
107 fveq2 6344 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝐾 → (𝑅𝑗) = (𝑅𝐾))
108107fveq2d 6348 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝐾 → (𝐹‘(𝑅𝑗)) = (𝐹‘(𝑅𝐾)))
109108adantl 473 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑗 = 𝐾) → (𝐹‘(𝑅𝑗)) = (𝐹‘(𝑅𝐾)))
11094adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
111103, 110ffvelrnd 6515 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑅𝐾) ∈ (𝐴(,)𝐵))
112102, 111ffvelrnd 6515 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹‘(𝑅𝐾)) ∈ ℝ)
11395, 109, 110, 112fvmptd 6442 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑆𝐾) = (𝐹‘(𝑅𝐾)))
114106, 113oveq12d 6823 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑆𝑖) − (𝑆𝐾)) = ((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾))))
115114fveq2d 6348 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝐾))) = (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))))
116105recnd 10252 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹‘(𝑅𝑖)) ∈ ℂ)
117112recnd 10252 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹‘(𝑅𝐾)) ∈ ℂ)
118116, 117subcld 10576 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾))) ∈ ℂ)
119118abscld 14366 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) ∈ ℝ)
120119adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) ∈ ℝ)
12144ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) ∈ ℝ)
122121adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) ∈ ℝ)
1236adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑅:(ℤ𝑀)⟶(𝐴(,)𝐵))
124123, 94ffvelrnd 6515 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑅𝐾) ∈ (𝐴(,)𝐵))
12527, 124sseldi 3734 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑅𝐾) ∈ ℝ)
126125ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝑅𝐾) ∈ ℝ)
12727, 104sseldi 3734 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ)
128127adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ)
129126, 128resubcld 10642 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖)) ∈ ℝ)
130122, 129remulcld 10254 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))) ∈ ℝ)
13113ad3antlr 769 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → 𝑥 ∈ ℝ)
132116adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝐹‘(𝑅𝑖)) ∈ ℂ)
133117adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝐹‘(𝑅𝐾)) ∈ ℂ)
134132, 133abssubd 14383 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) = (abs‘((𝐹‘(𝑅𝐾)) − (𝐹‘(𝑅𝑖)))))
13520ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13621ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → 𝐵 ∈ ℝ)
137102adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
13831ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
13962ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ))
140104adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝑅𝑖) ∈ (𝐴(,)𝐵))
141127rexrd 10273 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ*)
142141adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ*)
14321rexrd 10273 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
144143ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
145144adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
146 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾))
14720rexrd 10273 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
148147adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
149143adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
150 iooltub 40230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑅𝐾) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅𝐾) < 𝐵)
151148, 149, 124, 150syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑅𝐾) < 𝐵)
152151ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝑅𝐾) < 𝐵)
153142, 145, 126, 146, 152eliood 40215 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝑅𝐾) ∈ ((𝑅𝑖)(,)𝐵))
154135, 136, 137, 138, 122, 139, 140, 153dvbdfbdioolem1 40638 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑅𝐾)) − (𝐹‘(𝑅𝑖)))) ≤ (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))) ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑅𝐾)) − (𝐹‘(𝑅𝑖)))) ≤ (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · (𝐵𝐴))))
155154simpld 477 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝐾)) − (𝐹‘(𝑅𝑖)))) ≤ (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))))
156134, 155eqbrtrd 4818 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) ≤ (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))))
157122, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
158157, 129remulcld 10254 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → ((sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) · ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))) ∈ ℝ)
159128, 126posdifd 10798 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → ((𝑅𝑖) < (𝑅𝐾) ↔ 0 < ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))))
160146, 159mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → 0 < ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖)))
161129, 160elrpd 12054 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖)) ∈ ℝ+)
162122ltp1d 11138 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) < (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))
163122, 157, 161, 162ltmul1dd 12112 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))) < ((sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) · ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))))
16427, 111sseldi 3734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑅𝐾) ∈ ℝ)
165127, 164resubcld 10642 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾)) ∈ ℝ)
166165recnd 10252 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾)) ∈ ℂ)
167166abscld 14366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) ∈ ℝ)
168167adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) ∈ ℝ)
16973ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
170129leabsd 14344 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖)) ≤ (abs‘((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))))
171126recnd 10252 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝑅𝐾) ∈ ℂ)
172127recnd 10252 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑅𝑖) ∈ ℂ)
173172adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (𝑅𝑖) ∈ ℂ)
174171, 173abssubd 14383 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))) = (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))))
175170, 174breqtrd 4822 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖)) ≤ (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))))
176 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝐾 → (ℤ𝑘) = (ℤ𝐾))
177 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝐾 → (𝑅𝑘) = (𝑅𝐾))
178177oveq2d 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝐾 → ((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘)) = ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾)))
179178fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝐾 → (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) = (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))))
180179breq1d 4806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝐾 → ((abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
181176, 180raleqbidv 3283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝐾 → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝐾)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
182181elrab 3496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝐾)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
18393, 182sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝐾)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
184183simprd 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝐾)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
185184r19.21bi 3062 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
186185adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
187129, 168, 169, 175, 186lelttrd 10379 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖)) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
18851, 70elrpd 12054 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ+)
189188ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ+)
190129, 131, 189ltmuldiv2d 12105 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (((sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) · ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))) < 𝑥 ↔ ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖)) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
191187, 190mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → ((sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) · ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))) < 𝑥)
192130, 158, 131, 163, 191lttrd 10382 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝐾) − (𝑅𝑖))) < 𝑥)
193120, 130, 131, 156, 192lelttrd 10379 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) < 𝑥)
194 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅𝑖) = (𝑅𝐾) → (𝐹‘(𝑅𝑖)) = (𝐹‘(𝑅𝐾)))
195194oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑖) = (𝑅𝐾) → ((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾))) = ((𝐹‘(𝑅𝐾)) − (𝐹‘(𝑅𝐾))))
196117subidd 10564 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐹‘(𝑅𝐾)) − (𝐹‘(𝑅𝐾))) = 0)
197195, 196sylan9eqr 2808 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → ((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾))) = 0)
198197abs00bd 14222 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) = 0)
19974ad3antlr 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → 0 < 𝑥)
200198, 199eqbrtrd 4818 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) < 𝑥)
201200adantlr 753 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) ∧ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) < 𝑥)
202 simpll 807 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)))
203164ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → (𝑅𝐾) ∈ ℝ)
204127ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ)
205 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅𝐾) = (𝑅𝑖) → (𝑅𝐾) = (𝑅𝑖))
206205eqcomd 2758 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝐾) = (𝑅𝑖) → (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾))
207206necon3bi 2950 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾) → (𝑅𝐾) ≠ (𝑅𝑖))
208207adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → (𝑅𝐾) ≠ (𝑅𝑖))
209 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → ¬ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾))
210203, 204, 208, 209lttri5d 40004 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖))
211119adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) ∈ ℝ)
212121, 165remulcld 10254 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) ∈ ℝ)
213212adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) ∈ ℝ)
21413ad3antlr 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → 𝑥 ∈ ℝ)
21520ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → 𝐴 ∈ ℝ)
21621ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → 𝐵 ∈ ℝ)
217102adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
21831ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
21944ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) ∈ ℝ)
22062ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ))
221111adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (𝑅𝐾) ∈ (𝐴(,)𝐵))
222125rexrd 10273 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑅𝐾) ∈ ℝ*)
223222ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (𝑅𝐾) ∈ ℝ*)
224216rexrd 10273 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
225127adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ)
226 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖))
227147ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
228 iooltub 40230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑅𝑖) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅𝑖) < 𝐵)
229227, 144, 104, 228syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑅𝑖) < 𝐵)
230229adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (𝑅𝑖) < 𝐵)
231223, 224, 225, 226, 230eliood 40215 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (𝑅𝑖) ∈ ((𝑅𝐾)(,)𝐵))
232215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 231dvbdfbdioolem1 40638 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) ≤ (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) ≤ (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · (𝐵𝐴))))
233232simpld 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) ≤ (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))))
234 1red 10239 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → 1 ∈ ℝ)
235219, 234readdcld 10253 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
236164adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (𝑅𝐾) ∈ ℝ)
237225, 236resubcld 10642 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾)) ∈ ℝ)
238235, 237remulcld 10254 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → ((sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) · ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) ∈ ℝ)
239219, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
240236, 225posdifd 10798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → ((𝑅𝐾) < (𝑅𝑖) ↔ 0 < ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))))
241226, 240mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → 0 < ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾)))
242237, 241elrpd 12054 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾)) ∈ ℝ+)
243219ltp1d 11138 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) < (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))
244219, 239, 242, 243ltmul1dd 12112 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < ((sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) · ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))))
245167adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) ∈ ℝ)
24673ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
247237leabsd 14344 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾)) ≤ (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))))
248185adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
249237, 245, 246, 247, 248lelttrd 10379 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾)) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
250188ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ+)
251237, 214, 250ltmuldiv2d 12105 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (((sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) · ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < 𝑥 ↔ ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾)) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
252249, 251mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → ((sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1) · ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < 𝑥)
253213, 238, 214, 244, 252lttrd 10382 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) · ((𝑅𝑖) − (𝑅𝐾))) < 𝑥)
254211, 213, 214, 233, 253lelttrd 10379 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑅𝐾) < (𝑅𝑖)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) < 𝑥)
255202, 210, 254syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) = (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) < 𝑥)
256201, 255pm2.61dan 867 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝑖) < (𝑅𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) < 𝑥)
257193, 256pm2.61dan 867 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘((𝐹‘(𝑅𝑖)) − (𝐹‘(𝑅𝐾)))) < 𝑥)
258115, 257eqbrtrd 4818 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝐾))) < 𝑥)
259258ralrimiva 3096 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝐾)(abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝐾))) < 𝑥)
260 fveq2 6344 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐾 → (𝑆𝑘) = (𝑆𝐾))
261260oveq2d 6821 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐾 → ((𝑆𝑖) − (𝑆𝑘)) = ((𝑆𝑖) − (𝑆𝐾)))
262261fveq2d 6348 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝑘))) = (abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝐾))))
263262breq1d 4806 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → ((abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝐾))) < 𝑥))
264176, 263raleqbidv 3283 . . . . 5 (𝑘 = 𝐾 → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝐾)(abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝐾))) < 𝑥))
265264rspcev 3441 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝐾)(abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝐾))) < 𝑥) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝑘))) < 𝑥)
26694, 259, 265syl2anc 696 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝑘))) < 𝑥)
267266ralrimiva 3096 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑆𝑖) − (𝑆𝑘))) < 𝑥)
2681, 10, 267caurcvg 14598 1 (𝜑𝑆 ⇝ (lim sup‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wral 3042  wrex 3043  {crab 3046  wss 3707  c0 4050   class class class wbr 4796  cmpt 4873  dom cdm 5258  ran crn 5259  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  supcsup 8503  infcinf 8504  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125  *cxr 10257   < clt 10258  cle 10259  cmin 10450   / cdiv 10868  2c2 11254  cz 11561  cuz 11871  +crp 12017  (,)cioo 12360  abscabs 14165  lim supclsp 14392  cli 14406  cnccncf 22872   D cdv 23818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-limsup 14393  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134  df-perf 21135  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-haus 21313  df-cmp 21384  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cncf 22874  df-limc 23821  df-dv 23822
This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem2  40642  ioodvbdlimc2lem  40644
  Copyright terms: Public domain W3C validator