MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioodisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioodisj 12515
Description: If the upper bound of one open interval is less than or equal to the lower bound of the other, the intervals are disjoint. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
ioodisj ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ∅)

Proof of Theorem ioodisj
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 817 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 iooss1 12423 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
31, 2sylancom 704 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐶) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
4 ioossicc 12472 . . . . 5 (𝐵(,)𝐷) ⊆ (𝐵[,]𝐷)
53, 4syl6ss 3756 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐶) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐵[,]𝐷))
6 sslin 3982 . . . 4 ((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐵[,]𝐷) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐷)))
75, 6syl 17 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐷)))
8 simplll 815 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
9 simplrr 820 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ*)
10 df-ioo 12392 . . . . 5 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
11 df-icc 12395 . . . . 5 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
12 xrlenlt 10315 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐵))
1310, 11, 12ixxdisj 12403 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐷)) = ∅)
148, 1, 9, 13syl3anc 1477 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐷)) = ∅)
157, 14sseqtrd 3782 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ∅)
16 ss0 4117 . 2 (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ∅ → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ∅)
1715, 16syl 17 1 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  cin 3714  wss 3715  c0 4058   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  *cxr 10285   < clt 10286  cle 10287  (,)cioo 12388  [,]cicc 12391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-ioo 12392  df-icc 12395
This theorem is referenced by:  reconnlem1  22850  dyaddisjlem  23583  itgsplitioo  23823
  Copyright terms: Public domain W3C validator