Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooabslt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooabslt 40239
Description: An upper bound for the distance from the center of an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iooabslt.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
iooabslt.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
iooabslt.3 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
iooabslt (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐶)) < 𝐵)

Proof of Theorem iooabslt
StepHypRef Expression
1 iooabslt.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 10274 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 iooabslt.3 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
4 elioore 12410 . . . . 5 (𝐶 ∈ ((𝐴𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65recnd 10274 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
7 eqid 2771 . . . 4 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
87cnmetdval 22794 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝐴𝐶)))
92, 6, 8syl2anc 573 . 2 (𝜑 → (𝐴(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝐴𝐶)))
10 iooabslt.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
11 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
1211bl2ioo 22815 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
131, 10, 12syl2anc 573 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
143, 13eleqtrrd 2853 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵))
15 cnxmet 22796 . . . . . . . . 9 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
172, 1elind 3949 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∩ ℝ))
1810rexrd 10295 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1911blres 22456 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ (ℂ ∩ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ))
2016, 17, 18, 19syl3anc 1476 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ))
2114, 20eleqtrd 2852 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ))
22 elin 3947 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
2321, 22sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
2423simpld 482 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵))
25 elbl 22413 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵)))
2616, 2, 18, 25syl3anc 1476 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵)))
2724, 26mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵))
2827simprd 483 . 2 (𝜑 → (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵)
299, 28eqbrtrrd 4811 1 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐶)) < 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cin 3722   class class class wbr 4787   × cxp 5248  cres 5252  ccom 5254  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141   + caddc 10145  *cxr 10279   < clt 10280  cmin 10472  (,)cioo 12380  abscabs 14182  ∞Metcxmt 19946  ballcbl 19948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-xadd 12152  df-ioo 12384  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956
This theorem is referenced by:  lptre2pt  40387
  Copyright terms: Public domain W3C validator