MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iocssre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocssre 12458
Description: A closed-above interval with real upper bound is a set of reals. (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
iocssre ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iocssre
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioc2 12441 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
21biimp3a 1580 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵))
32simp1d 1136 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
433expia 1114 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
54ssrdv 3758 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071  wcel 2145  wss 3723   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  cr 10137  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  (,]cioc 12381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-ioc 12385
This theorem is referenced by:  iocmnfcld  22792  lhop1  23997  negpitopissre  24507  eff1o  24516  dvlog2lem  24619  iocopn  40265  limcicciooub  40387  limcresiooub  40392  fourierdlem19  40860  fourierdlem33  40874  fourierdlem37  40878  fourierdlem46  40886  fourierdlem48  40888  fourierdlem49  40889  fourierdlem51  40891  fourierdlem63  40903  fourierdlem79  40919  fourierdlem89  40929  fourierdlem90  40930  fourierdlem91  40931  fourierdlem93  40933  fouriersw  40965
  Copyright terms: Public domain W3C validator