Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocopn 40265
Description: A left open right closed interval is an open set of the standard topology restricted to an interval that contains the original interval and has the same upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iocopn.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
iocopn.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
iocopn.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
iocopn.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
iocopn.j 𝐽 = (𝐾t (𝐴(,]𝐵))
iocopn.alec (𝜑𝐴𝐶)
iocopn.6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iocopn (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem iocopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iocopn.k . . . . 5 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2 retop 22785 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
31, 2eqeltri 2846 . . . 4 𝐾 ∈ Top
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Top)
5 ovexd 6825 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ∈ V)
6 iooretop 22789 . . . . 5 (𝐶(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
76, 1eleqtrri 2849 . . . 4 (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾)
9 elrestr 16297 . . 3 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ∈ V ∧ (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾) → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ (𝐾t (𝐴(,]𝐵)))
104, 5, 8, 9syl3anc 1476 . 2 (𝜑 → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ (𝐾t (𝐴(,]𝐵)))
11 iocopn.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
1211adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
13 iocopn.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1413rexrd 10291 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1514adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16 elinel1 3950 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
17 elioore 12410 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1918rexrd 10291 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2019adantl 467 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21 pnfxr 10294 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → +∞ ∈ ℝ*)
2316adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
24 ioogtlb 40238 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞)) → 𝐶 < 𝑥)
2512, 22, 23, 24syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 < 𝑥)
26 iocopn.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2726adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28 elinel2 3951 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
2928adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
30 iocleub 40246 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
3127, 15, 29, 30syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥𝐵)
3212, 15, 20, 25, 31eliocd 40251 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
3311adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3421a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
35 iocopn.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
36 iocssre 12458 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶(,]𝐵) ⊆ ℝ)
3711, 35, 36syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ⊆ ℝ)
3837sselda 3752 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3914adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
40 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
41 iocgtlb 40245 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 < 𝑥)
4233, 39, 40, 41syl3anc 1476 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 < 𝑥)
4338ltpnfd 12160 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 < +∞)
4433, 34, 38, 42, 43eliood 40241 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
4526adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4638rexrd 10291 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47 iocopn.alec . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐶)
4847adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴𝐶)
4945, 33, 46, 48, 42xrlelttrd 12196 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
50 iocleub 40246 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
5133, 39, 40, 50syl3anc 1476 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
5245, 39, 46, 49, 51eliocd 40251 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
5344, 52elind 3949 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
5432, 53impbida 802 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)))
5554eqrdv 2769 . 2 (𝜑 → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) = (𝐶(,]𝐵))
56 iocopn.j . . . 4 𝐽 = (𝐾t (𝐴(,]𝐵))
5756eqcomi 2780 . . 3 (𝐾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽
5857a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽)
5910, 55, 583eltr3d 2864 1 (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cin 3722  wss 3723   class class class wbr 4786  ran crn 5250  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137  +∞cpnf 10273  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  (,)cioo 12380  (,]cioc 12381  t crest 16289  topGenctg 16306  Topctop 20918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-rest 16291  df-topgen 16312  df-top 20919  df-bases 20971
This theorem is referenced by:  fouriersw  40965
  Copyright terms: Public domain W3C validator