Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocborel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocborel 41085
 Description: A left-open, right-closed interval is a Borel set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iocborel.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
iocborel.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
iocborel.t 𝐽 = (topGen‘ran (,))
iocborel.b 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
Assertion
Ref Expression
iocborel (𝜑 → (𝐴(,]𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem iocborel
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iocborel.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 iocborel.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
31, 2iooiinioc 40295 . . 3 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) = (𝐴(,]𝐶))
43eqcomd 2776 . 2 (𝜑 → (𝐴(,]𝐶) = 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))))
5 iocborel.t . . . . . . 7 𝐽 = (topGen‘ran (,))
6 iocborel.b . . . . . . 7 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
75, 6bor1sal 41084 . . . . . 6 𝐵 ∈ SAlg
87a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐵 ∈ SAlg)
9 nnct 12987 . . . . . 6 ℕ ≼ ω
109a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℕ ≼ ω)
11 nnn0 40105 . . . . . 6 ℕ ≠ ∅
1211a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℕ ≠ ∅)
135, 6iooborel 41080 . . . . . 6 (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵
1413a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵)
158, 10, 12, 14saliincl 41056 . . . 4 (⊤ → 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵)
1615trud 1640 . . 3 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵
1716a1i 11 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵)
184, 17eqeltrd 2849 1 (𝜑 → (𝐴(,]𝐶) ∈ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630  ⊤wtru 1631   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942  ∅c0 4061  ∩ ciin 4653   class class class wbr 4784  ran crn 5250  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  ωcom 7211   ≼ cdom 8106  ℝcr 10136  1c1 10138   + caddc 10140  ℝ*cxr 10274   / cdiv 10885  ℕcn 11221  (,)cioo 12379  (,]cioc 12380  topGenctg 16305  SAlgcsalg 41039  SalGencsalgen 41043 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-card 8964  df-acn 8967  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-fl 12800  df-topgen 16311  df-top 20918  df-bases 20970  df-salg 41040  df-salgen 41044 This theorem is referenced by:  incsmflem  41464  decsmflem  41488  smfsuplem2  41532
 Copyright terms: Public domain W3C validator