MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invrpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invrpropd 18905
Description: The ring inverse function depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidpropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
invrpropd (𝜑 → (invr𝐾) = (invr𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem invrpropd
StepHypRef Expression
1 eqid 2770 . . . . 5 (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
2 eqid 2770 . . . . 5 ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)) = ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))
31, 2unitgrpbas 18873 . . . 4 (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
5 rngidpropd.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
6 rngidpropd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
7 rngidpropd.3 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
85, 6, 7unitpropd 18904 . . . 4 (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
9 eqid 2770 . . . . 5 (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
10 eqid 2770 . . . . 5 ((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)) = ((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))
119, 10unitgrpbas 18873 . . . 4 (Unit‘𝐿) = (Base‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
128, 11syl6eq 2820 . . 3 (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
13 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 1unitss 18867 . . . . . . . 8 (Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)
1514, 5syl5sseqr 3801 . . . . . . 7 (𝜑 → (Unit‘𝐾) ⊆ 𝐵)
1615sselda 3750 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Unit‘𝐾)) → 𝑥𝐵)
1715sselda 3750 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (Unit‘𝐾)) → 𝑦𝐵)
1816, 17anim12dan 597 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
1918, 7syldan 571 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
20 fvex 6342 . . . . . 6 (Unit‘𝐾) ∈ V
21 eqid 2770 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
22 eqid 2770 . . . . . . . 8 (.r𝐾) = (.r𝐾)
2321, 22mgpplusg 18700 . . . . . . 7 (.r𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
242, 23ressplusg 16200 . . . . . 6 ((Unit‘𝐾) ∈ V → (.r𝐾) = (+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
2520, 24ax-mp 5 . . . . 5 (.r𝐾) = (+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
2625oveqi 6805 . . . 4 (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))𝑦)
27 fvex 6342 . . . . . 6 (Unit‘𝐿) ∈ V
28 eqid 2770 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
29 eqid 2770 . . . . . . . 8 (.r𝐿) = (.r𝐿)
3028, 29mgpplusg 18700 . . . . . . 7 (.r𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
3110, 30ressplusg 16200 . . . . . 6 ((Unit‘𝐿) ∈ V → (.r𝐿) = (+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
3227, 31ax-mp 5 . . . . 5 (.r𝐿) = (+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
3332oveqi 6805 . . . 4 (𝑥(.r𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))𝑦)
3419, 26, 333eqtr3g 2827 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐾))) → (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))𝑦))
354, 12, 34grpinvpropd 17697 . 2 (𝜑 → (invg‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))) = (invg‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿))))
36 eqid 2770 . . 3 (invr𝐾) = (invr𝐾)
371, 2, 36invrfval 18880 . 2 (invr𝐾) = (invg‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))
38 eqid 2770 . . 3 (invr𝐿) = (invr𝐿)
399, 10, 38invrfval 18880 . 2 (invr𝐿) = (invg‘((mulGrp‘𝐿) ↾s (Unit‘𝐿)))
4035, 37, 393eqtr4g 2829 1 (𝜑 → (invr𝐾) = (invr𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  Vcvv 3349  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  s cress 16064  +gcplusg 16148  .rcmulr 16149  invgcminusg 17630  mulGrpcmgp 18696  Unitcui 18846  invrcinvr 18878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-tpos 7503  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-0g 16309  df-minusg 17633  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator