MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invoppggim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invoppggim 17996
Description: The inverse is an antiautomorphism on any group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
invoppggim.o 𝑂 = (oppg𝐺)
invoppggim.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
invoppggim (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso 𝑂))

Proof of Theorem invoppggim
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2770 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 invoppggim.o . . . 4 𝑂 = (oppg𝐺)
32, 1oppgbas 17987 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
4 eqid 2770 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
5 eqid 2770 . . 3 (+g𝑂) = (+g𝑂)
6 id 22 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
72oppggrp 17993 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
8 invoppggim.i . . . 4 𝐼 = (invg𝐺)
91, 8grpinvf 17673 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
101, 4, 8grpinvadd 17700 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐼‘(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝐼𝑦)(+g𝐺)(𝐼𝑥)))
11103expb 1112 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝐼‘(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝐼𝑦)(+g𝐺)(𝐼𝑥)))
124, 2, 5oppgplus 17985 . . . 4 ((𝐼𝑥)(+g𝑂)(𝐼𝑦)) = ((𝐼𝑦)(+g𝐺)(𝐼𝑥))
1311, 12syl6eqr 2822 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝐼‘(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝐼𝑥)(+g𝑂)(𝐼𝑦)))
141, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 13isghmd 17876 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝑂))
151, 8, 6grpinvf1o 17692 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺))
161, 3isgim 17911 . 2 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso 𝑂) ↔ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝑂) ∧ 𝐼:(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺)))
1714, 15, 16sylanbrc 564 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso 𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  Grpcgrp 17629  invgcminusg 17630   GrpHom cghm 17864   GrpIso cgim 17906  oppgcoppg 17981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-tpos 7503  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-ghm 17865  df-gim 17908  df-oppg 17982
This theorem is referenced by:  oppggic  17997  symgtrinv  18098  gsumzinv  18551
  Copyright terms: Public domain W3C validator