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Theorem inttsk 9634
Description: The intersection of a collection of Tarski classes is a Tarski class. (Contributed by FL, 17-Apr-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
inttsk ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Tarski)

Proof of Theorem inttsk
Dummy variables 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 805 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → 𝐴 ⊆ Tarski)
21sselda 3636 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ 𝑡𝐴) → 𝑡 ∈ Tarski)
3 elinti 4517 . . . . . . . . 9 (𝑧 𝐴 → (𝑡𝐴𝑧𝑡))
43imp 444 . . . . . . . 8 ((𝑧 𝐴𝑡𝐴) → 𝑧𝑡)
54adantll 750 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ 𝑡𝐴) → 𝑧𝑡)
6 tskpwss 9612 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧𝑡) → 𝒫 𝑧𝑡)
72, 5, 6syl2anc 694 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ 𝑡𝐴) → 𝒫 𝑧𝑡)
87ralrimiva 2995 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → ∀𝑡𝐴 𝒫 𝑧𝑡)
9 ssint 4525 . . . . 5 (𝒫 𝑧 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝒫 𝑧𝑡)
108, 9sylibr 224 . . . 4 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → 𝒫 𝑧 𝐴)
11 tskpw 9613 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧𝑡) → 𝒫 𝑧𝑡)
122, 5, 11syl2anc 694 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ 𝑡𝐴) → 𝒫 𝑧𝑡)
1312ralrimiva 2995 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → ∀𝑡𝐴 𝒫 𝑧𝑡)
14 vpwex 4879 . . . . . 6 𝒫 𝑧 ∈ V
1514elint2 4514 . . . . 5 (𝒫 𝑧 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝒫 𝑧𝑡)
1613, 15sylibr 224 . . . 4 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → 𝒫 𝑧 𝐴)
1710, 16jca 553 . . 3 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (𝒫 𝑧 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 𝐴))
1817ralrimiva 2995 . 2 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑧 𝐴(𝒫 𝑧 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 𝐴))
19 elpwi 4201 . . . 4 (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴𝑧 𝐴)
20 rexnal 3024 . . . . . . . 8 (∃𝑡𝐴 ¬ 𝑧𝑡 ↔ ¬ ∀𝑡𝐴 𝑧𝑡)
21 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
22 intex 4850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
2321, 22sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
2423ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴 ∈ V)
25 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧 𝐴)
26 ssdomg 8043 . . . . . . . . . . 11 ( 𝐴 ∈ V → (𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
2724, 25, 26sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧 𝐴)
28 vex 3234 . . . . . . . . . . . 12 𝑡 ∈ V
29 intss1 4524 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡𝐴 𝐴𝑡)
3029ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴𝑡)
31 ssdomg 8043 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ V → ( 𝐴𝑡 𝐴𝑡))
3228, 30, 31mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴𝑡)
33 simprr 811 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → ¬ 𝑧𝑡)
34 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴 ⊆ Tarski)
35 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑡𝐴)
3634, 35sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑡 ∈ Tarski)
3725, 30sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧𝑡)
38 tsken 9614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧𝑡) → (𝑧𝑡𝑧𝑡))
3936, 37, 38syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → (𝑧𝑡𝑧𝑡))
4039ord 391 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → (¬ 𝑧𝑡𝑧𝑡))
4133, 40mt3d 140 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧𝑡)
4241ensymd 8048 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑡𝑧)
43 domentr 8056 . . . . . . . . . . 11 (( 𝐴𝑡𝑡𝑧) → 𝐴𝑧)
4432, 42, 43syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴𝑧)
45 sbth 8121 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 𝐴 𝐴𝑧) → 𝑧 𝐴)
4627, 44, 45syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧 𝐴)
4746rexlimdvaa 3061 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (∃𝑡𝐴 ¬ 𝑧𝑡𝑧 𝐴))
4820, 47syl5bir 233 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (¬ ∀𝑡𝐴 𝑧𝑡𝑧 𝐴))
4948con1d 139 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (¬ 𝑧 𝐴 → ∀𝑡𝐴 𝑧𝑡))
50 vex 3234 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
5150elint2 4514 . . . . . 6 (𝑧 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝑧𝑡)
5249, 51syl6ibr 242 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (¬ 𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
5352orrd 392 . . . 4 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
5419, 53sylan2 490 . . 3 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
5554ralrimiva 2995 . 2 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝐴(𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
56 eltsk2g 9611 . . 3 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 ∈ Tarski ↔ (∀𝑧 𝐴(𝒫 𝑧 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝐴(𝑧 𝐴𝑧 𝐴))))
5723, 56syl 17 . 2 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ( 𝐴 ∈ Tarski ↔ (∀𝑧 𝐴(𝒫 𝑧 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝐴(𝑧 𝐴𝑧 𝐴))))
5818, 55, 57mpbir2and 977 1 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Tarski)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191   cint 4507   class class class wbr 4685  cen 7994  cdom 7995  Tarskictsk 9608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-tsk 9609
This theorem is referenced by:  tskmcl  9701
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