MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  intex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem intex 4850
Description: The intersection of a nonempty class exists. Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 44 and its converse. (Contributed by NM, 13-Aug-2002.)
Assertion
Ref Expression
intex (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem intex
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3964 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
2 intss1 4524 . . . . 5 (𝑥𝐴 𝐴𝑥)
3 vex 3234 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
43ssex 4835 . . . . 5 ( 𝐴𝑥 𝐴 ∈ V)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝑥𝐴 𝐴 ∈ V)
65exlimiv 1898 . . 3 (∃𝑥 𝑥𝐴 𝐴 ∈ V)
71, 6sylbi 207 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ∈ V)
8 vprc 4829 . . . 4 ¬ V ∈ V
9 inteq 4510 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
10 int0 4522 . . . . . 6 ∅ = V
119, 10syl6eq 2701 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = V)
1211eleq1d 2715 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ( 𝐴 ∈ V ↔ V ∈ V))
138, 12mtbiri 316 . . 3 (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ∈ V)
1413necon2ai 2852 . 2 ( 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≠ ∅)
157, 14impbii 199 1 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948   cint 4507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-v 3233  df-dif 3610  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-int 4508
This theorem is referenced by:  intnex  4851  intexab  4852  iinexg  4854  onint0  7038  onintrab  7043  onmindif2  7054  fival  8359  elfi2  8361  elfir  8362  dffi2  8370  elfiun  8377  fifo  8379  tz9.1c  8644  tz9.12lem1  8688  tz9.12lem3  8690  rankf  8695  cardf2  8807  cardval3  8816  cardid2  8817  cardcf  9112  cflim2  9123  intwun  9595  wuncval  9602  inttsk  9634  intgru  9674  gruina  9678  dfrtrcl2  13846  mremre  16311  mrcval  16317  asplss  19377  aspsubrg  19379  toponmre  20945  subbascn  21106  insiga  30328  sigagenval  30331  sigagensiga  30332  dmsigagen  30335  dfon2lem8  31819  dfon2lem9  31820  bj-snmoore  33193  igenval  33990  pclvalN  35494  elrfi  37574  ismrcd1  37578  mzpval  37612  dmmzp  37613  salgenval  40859  intsal  40866
  Copyright terms: Public domain W3C validator