Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inmap 39715
Description: Intersection of two sets exponentiations. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
inmap.a (𝜑𝐴𝑉)
inmap.b (𝜑𝐵𝑊)
inmap.c (𝜑𝐶𝑍)
Assertion
Ref Expression
inmap (𝜑 → ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) = ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶))

Proof of Theorem inmap
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel1 3832 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐴𝑚 𝐶))
2 elmapi 7921 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) → 𝑓:𝐶𝐴)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶𝐴)
4 elinel2 3833 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐶))
5 elmapi 7921 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → 𝑓:𝐶𝐵)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶𝐵)
73, 6jca 553 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) → (𝑓:𝐶𝐴𝑓:𝐶𝐵))
8 fin 6123 . . . . . . 7 (𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵) ↔ (𝑓:𝐶𝐴𝑓:𝐶𝐵))
97, 8sylibr 224 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵))
109adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶))) → 𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵))
11 inmap.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑉)
12 inss1 3866 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
1411, 13ssexd 4838 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ V)
15 inmap.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑍)
1614, 15elmapd 7913 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵)))
1716adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶))) → (𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵)))
1810, 17mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶))) → 𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶))
1918ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶))𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶))
20 dfss3 3625 . . 3 (((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) ⊆ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶))𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶))
2119, 20sylibr 224 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) ⊆ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶))
22 mapss 7942 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐴𝑚 𝐶))
2311, 13, 22syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐴𝑚 𝐶))
24 inmap.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
25 inss2 3867 . . . . 5 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
2625a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵)
27 mapss 7942 . . . 4 ((𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵) → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
2824, 26, 27syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
2923, 28ssind 3870 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)))
3021, 29eqssd 3653 1 (𝜑 → ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) = ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  wf 5922  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-map 7901
This theorem is referenced by:  vonvolmbllem  41195  vonvolmbl  41196
  Copyright terms: Public domain W3C validator