Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infxrpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrpnf 40172
Description: Adding plus infinity to a set does not affect its infimum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
infxrpnf (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem infxrpnf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ*)
2 pnfxr 10284 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
3 snssi 4484 . . . . . 6 (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 {+∞} ⊆ ℝ*
54a1i 11 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
61, 5unssd 3932 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*)
76infxrcld 40110 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8 infxrcl 12356 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9 ssun1 3919 . . . 4 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞})
109a1i 11 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞}))
11 infxrss 12362 . . 3 ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*) → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
1210, 6, 11syl2anc 696 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
13 infeq1 8547 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(∅, ℝ*, < ))
14 xrinf0 12361 . . . . . . . 8 inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
1514, 2eqeltri 2835 . . . . . . 7 inf(∅, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → inf(∅, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1713, 16eqeltrd 2839 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
18 xrltso 12167 . . . . . . . . 9 < Or ℝ*
19 infsn 8575 . . . . . . . . 9 (( < Or ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
2018, 2, 19mp2an 710 . . . . . . . 8 inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞
2120eqcomi 2769 . . . . . . 7 +∞ = inf({+∞}, ℝ*, < )
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → +∞ = inf({+∞}, ℝ*, < ))
2313, 14syl6eq 2810 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
24 uneq1 3903 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ {+∞}) = (∅ ∪ {+∞}))
25 0un 39714 . . . . . . . . 9 (∅ ∪ {+∞}) = {+∞}
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → (∅ ∪ {+∞}) = {+∞})
2724, 26eqtrd 2794 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ {+∞}) = {+∞})
2827infeq1d 8548 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf({+∞}, ℝ*, < ))
2922, 23, 283eqtr4d 2804 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
3017, 29xreqled 40044 . . . 4 (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
3130adantl 473 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
32 neqne 2940 . . . 4 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
33 nfv 1992 . . . . 5 𝑥(𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅)
34 nfv 1992 . . . . 5 𝑦(𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅)
35 simpl 474 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
3635, 6syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*)
37 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
38 ssel2 3739 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
39 xrleid 12176 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝑥)
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥𝑥)
41 breq1 4807 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑥𝑥𝑥))
4241rspcev 3449 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑥𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4337, 40, 42syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4443ad4ant14 1209 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
45 simpll 807 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅))
46 elunnel1 3897 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ {+∞})
47 elsni 4338 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {+∞} → 𝑥 = +∞)
4846, 47syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥 = +∞)
4948adantll 752 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥 = +∞)
50 simplr 809 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → 𝐴 ≠ ∅)
51 ssel2 3739 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
52 pnfge 12157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ +∞)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ +∞)
5453adantlr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ +∞)
55 simplr 809 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 = +∞)
5654, 55breqtrrd 4832 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝑥)
5756ralrimiva 3104 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 = +∞) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
5857adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
59 r19.2z 4204 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
6050, 58, 59syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
6145, 49, 60syl2anc 696 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
6244, 61pm2.61dan 867 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
6333, 34, 35, 36, 62infleinf2 40139 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
6432, 63sylan2 492 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
6531, 64pm2.61dan 867 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
667, 8, 12, 65xrletrid 12179 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  cun 3713  wss 3715  c0 4058  {csn 4321   class class class wbr 4804   Or wor 5186  infcinf 8512  +∞cpnf 10263  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461
This theorem is referenced by:  infxrpnf2  40191
  Copyright terms: Public domain W3C validator