Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infxrge0gelb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrge0gelb 29871
Description: The infimum of a set of nonnegative extended reals is greater than or equal to a lower bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
infxrge0glb.a (𝜑𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
infxrge0glb.b (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
infxrge0gelb (𝜑 → (𝐵 ≤ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem infxrge0gelb
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infxrge0glb.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
2 infxrge0glb.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
31, 2infxrge0glb 29870 . . 3 (𝜑 → (inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵))
43notbid 307 . 2 (𝜑 → (¬ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵))
5 iccssxr 12461 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
65, 2sseldi 3750 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
7 xrltso 12179 . . . . . . 7 < Or ℝ*
8 soss 5188 . . . . . . 7 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
95, 7, 8mp2 9 . . . . . 6 < Or (0[,]+∞)
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
11 xrge0infss 29865 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
121, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
1310, 12infcl 8550 . . . 4 (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
145, 13sseldi 3750 . . 3 (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
156, 14xrlenltd 10306 . 2 (𝜑 → (𝐵 ≤ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ↔ ¬ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵))
166adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
171, 5syl6ss 3764 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
1817sselda 3752 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1916, 18xrlenltd 10306 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐵))
2019ralbidva 3134 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵))
21 ralnex 3141 . . 3 (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵)
2220, 21syl6bb 276 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵))
234, 15, 223bitr4d 300 1 (𝜑 → (𝐵 ≤ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  wss 3723   class class class wbr 4786   Or wor 5169  (class class class)co 6793  infcinf 8503  0cc0 10138  +∞cpnf 10273  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  [,]cicc 12383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-icc 12387
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator