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Theorem infxr 39896
Description: The infimum of a set of extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infxr.x 𝑥𝜑
infxr.y 𝑦𝜑
infxr.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
infxr.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
infxr.n (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵)
infxr.e (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
infxr (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infxr
StepHypRef Expression
1 infxr.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2 infxr.n . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵)
3 infxr.x . . 3 𝑥𝜑
4 infxr.e . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
54r19.21bi 2961 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
65adantlr 751 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
7 simplll 813 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝜑)
8 simpllr 815 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9 simplr 807 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
10 mnfxr 10134 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → -∞ ∈ ℝ*)
12 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
131ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14 mnfle 12007 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
151, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -∞ ≤ 𝐵)
1615ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → -∞ ≤ 𝐵)
17 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < 𝑥)
1811, 13, 12, 16, 17xrlelttrd 12029 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → -∞ < 𝑥)
1911, 12, 18xrgtned 39851 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
2019adantlr 751 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
218, 9, 20xrnmnfpnf 39570 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 = +∞)
22 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < 𝑥)
23 simpl 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 = -∞) → 𝜑)
24 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = -∞ → 𝐵 = -∞)
25 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
26 mnflt 11995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℝ → -∞ < 1)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ < 1
2824, 27syl6eqbr 4724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = -∞ → 𝐵 < 1)
2928adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 = -∞) → 𝐵 < 1)
30 1red 10093 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
31 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → (𝐵 < 𝑥𝐵 < 1))
32 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 1))
3332rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1))
3431, 33imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → ((𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝐵 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1)))
3534rspcva 3338 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)) → (𝐵 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1))
3630, 4, 35syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1))
3723, 29, 36sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1)
3837adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1)
39 infxr.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝜑
40 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 𝑥 = +∞
4139, 40nfan 1868 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(𝜑𝑥 = +∞)
42 infxr.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
4342sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
4443ad4ant13 1315 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 𝑦 ∈ ℝ*)
4525rexri 10135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ*
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 1 ∈ ℝ*)
47 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = +∞ → 𝑥 = +∞)
48 pnfxr 10130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
4947, 48syl6eqel 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = +∞ → 𝑥 ∈ ℝ*)
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5150ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 𝑥 ∈ ℝ*)
52 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 𝑦 < 1)
53 ltpnf 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
5425, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < +∞
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = +∞ → 1 < +∞)
5647eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = +∞ → +∞ = 𝑥)
5755, 56breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = +∞ → 1 < 𝑥)
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = +∞) → 1 < 𝑥)
5958ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 1 < 𝑥)
6044, 46, 51, 52, 59xrlttrd 12028 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 𝑦 < 𝑥)
6160ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 < 1 → 𝑦 < 𝑥))
6261ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = +∞) → (𝑦𝐴 → (𝑦 < 1 → 𝑦 < 𝑥)))
6341, 62reximdai 3041 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = +∞) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
6463adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
6538, 64mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
66653adantl3 1239 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
671adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
68673ad2antl1 1243 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6924necon3bi 2849 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = -∞ → 𝐵 ≠ -∞)
7069adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
7148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → +∞ ∈ ℝ*)
72 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < 𝑥)
73 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 = +∞)
7472, 73breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < +∞)
75743adant1 1099 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < +∞)
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 < +∞)
7768, 71, 76xrltned 39886 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≠ +∞)
7868, 70, 77xrred 39894 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
7925a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 1 ∈ ℝ)
8078, 79readdcld 10107 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
814adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
82813ad2antl1 1243 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
8380, 82jca 553 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ((𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)))
8478ltp1d 10992 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 < (𝐵 + 1))
85 breq2 4689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵 + 1) → (𝐵 < 𝑥𝐵 < (𝐵 + 1)))
86 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐵 + 1) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < (𝐵 + 1)))
8786rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵 + 1) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1)))
8885, 87imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐵 + 1) → ((𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝐵 < (𝐵 + 1) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1))))
8988rspcva 3338 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)) → (𝐵 < (𝐵 + 1) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1)))
9083, 84, 89sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1))
91 nfv 1883 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝐵 < 𝑥
9239, 40, 91nf3an 1871 . . . . . . . . . . 11 𝑦(𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥)
93 nfv 1883 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ¬ 𝐵 = -∞
9492, 93nfan 1868 . . . . . . . . . 10 𝑦((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞)
95433ad2antl1 1243 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
9695ad4ant13 1315 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
9780adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
9897rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
9998adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
100503adant3 1101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
101100ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
102 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → 𝑦 < (𝐵 + 1))
10380ltpnfd 11993 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝐵 + 1) < +∞)
10456adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = +∞ ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → +∞ = 𝑥)
1051043ad2antl2 1244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → +∞ = 𝑥)
106103, 105breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝐵 + 1) < 𝑥)
107106ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → (𝐵 + 1) < 𝑥)
10896, 99, 101, 102, 107xrlttrd 12028 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → 𝑦 < 𝑥)
109108ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 < (𝐵 + 1) → 𝑦 < 𝑥))
110109ex 449 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝑦𝐴 → (𝑦 < (𝐵 + 1) → 𝑦 < 𝑥)))
11194, 110reximdai 3041 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
11290, 111mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
11366, 112pm2.61dan 849 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
1147, 21, 22, 113syl3anc 1366 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
115114ex 449 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
1166, 115pm2.61dan 849 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
117116ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)))
1183, 117ralrimi 2986 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
119 xrltso 12012 . . . . 5 < Or ℝ*
120119a1i 11 . . . 4 (⊤ → < Or ℝ*)
121120eqinf 8431 . . 3 (⊤ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵))
122121trud 1533 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
1231, 2, 118, 122syl3anc 1366 1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wtru 1524  wnf 1748  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607   class class class wbr 4685   Or wor 5063  (class class class)co 6690  infcinf 8388  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  infxrunb2  39897
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