MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infssuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infssuni 8242
Description: If an infinite set 𝐴 is included in the underlying set of a finite cover 𝐵, then there exists a set of the cover that contains an infinite number of element of 𝐴. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
infssuni ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 𝐵) → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem infssuni
StepHypRef Expression
1 dfral2 2991 . . 3 (∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ ¬ ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)
2 iunfi 8239 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin) → 𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin)
3 iunin2 4575 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐵 (𝐴𝑥) = (𝐴 𝑥𝐵 𝑥)
43eleq1i 2690 . . . . . . . . 9 ( 𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴 𝑥𝐵 𝑥) ∈ Fin)
5 uniiun 4564 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = 𝑥𝐵 𝑥
65eqcomi 2629 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐵 𝑥 = 𝐵
76ineq2i 3803 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 𝑥𝐵 𝑥) = (𝐴 𝐵)
87eleq1i 2690 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 𝑥𝐵 𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴 𝐵) ∈ Fin)
9 df-ss 3581 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴 𝐵) = 𝐴)
10 eleq1 2687 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 𝐵) = 𝐴 → ((𝐴 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
11 pm2.24 121 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin))
1210, 11syl6bi 243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 𝐵) = 𝐴 → ((𝐴 𝐵) ∈ Fin → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)))
139, 12sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 𝐵 → ((𝐴 𝐵) ∈ Fin → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)))
1413com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 𝐵) ∈ Fin → (𝐴 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)))
158, 14sylbi 207 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝑥𝐵 𝑥) ∈ Fin → (𝐴 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)))
164, 15sylbi 207 . . . . . . . 8 ( 𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin → (𝐴 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)))
172, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin) → (𝐴 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)))
1817ex 450 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin → (𝐴 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin))))
1918com24 95 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (𝐴 𝐵 → (∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin))))
2019com12 32 . . . 4 𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 𝐵 → (∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin))))
21203imp 1254 . . 3 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 𝐵) → (∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin))
221, 21syl5bir 233 . 2 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 𝐵) → (¬ ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin))
2322pm2.18d 124 1 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 𝐵) → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  wrex 2910  cin 3566  wss 3567   cuni 4427   ciun 4511  Fincfn 7940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-fin 7944
This theorem is referenced by:  bwth  21194
  Copyright terms: Public domain W3C validator