MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infrelb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infrelb 11046
Description: If a nonempty set of real numbers has a lower bound, its infimum is less than or equal to any of its elements. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2013.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infrelb ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infrelb
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1081 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ)
2 ne0i 3954 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ≠ ∅)
323ad2ant3 1104 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
4 simp2 1082 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦)
5 infrecl 11043 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
61, 3, 4, 5syl3anc 1366 . 2 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7 ssel2 3631 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
873adant2 1100 . 2 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 ltso 10156 . . . . . . 7 < Or ℝ
109a1i 11 . . . . . 6 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝐴𝐵) → < Or ℝ)
11 simpll 805 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ)
122adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
13 simplr 807 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦)
14 infm3 11020 . . . . . . 7 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧 < 𝑦)))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧 < 𝑦)))
1610, 15inflb 8436 . . . . 5 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < )))
1716expcom 450 . . . 4 (𝐴𝐵 → ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < ))))
1817pm2.43b 55 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < )))
19183impia 1280 . 2 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < ))
206, 8, 19nltled 10225 1 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685   Or wor 5063  infcinf 8388  cr 9973   < clt 10112  cle 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  minveclem2  23243  minveclem4  23249  aalioulem2  24133  pilem2  24251  pilem3  24252  pntlem3  25343  minvecolem2  27859  minvecolem4  27864  taupilem2  33298  ptrecube  33539  heicant  33574  pellfundlb  37765  infrefilb  39913  climinf  40156  fourierdlem42  40684
  Copyright terms: Public domain W3C validator