MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpssrlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infpssrlem5 9167
Description: Lemma for infpssr 9168. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
infpssrlem.a (𝜑𝐵𝐴)
infpssrlem.c (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
infpssrlem.d (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐵))
infpssrlem.e 𝐺 = (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
infpssrlem5 (𝜑 → (𝐴𝑉 → ω ≼ 𝐴))

Proof of Theorem infpssrlem5
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infpssrlem.a . . . 4 (𝜑𝐵𝐴)
2 infpssrlem.c . . . 4 (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
3 infpssrlem.d . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐵))
4 infpssrlem.e . . . 4 𝐺 = (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)
51, 2, 3, 4infpssrlem3 9165 . . 3 (𝜑𝐺:ω⟶𝐴)
6 simpll 805 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏𝑐) → 𝜑)
7 simplrr 818 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑐 ∈ ω)
8 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑏𝑐)
91, 2, 3, 4infpssrlem4 9166 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ ω ∧ 𝑏𝑐) → (𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏))
106, 7, 8, 9syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏𝑐) → (𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏))
1110necomd 2878 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏𝑐) → (𝐺𝑏) ≠ (𝐺𝑐))
12 simpll 805 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐𝑏) → 𝜑)
13 simplrl 817 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑏 ∈ ω)
14 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐𝑏)
151, 2, 3, 4infpssrlem4 9166 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐𝑏) → (𝐺𝑏) ≠ (𝐺𝑐))
1612, 13, 14, 15syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐𝑏) → (𝐺𝑏) ≠ (𝐺𝑐))
1711, 16jaodan 843 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑏)) → (𝐺𝑏) ≠ (𝐺𝑐))
1817ex 449 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝑏𝑐𝑐𝑏) → (𝐺𝑏) ≠ (𝐺𝑐)))
1918necon2bd 2839 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝐺𝑏) = (𝐺𝑐) → ¬ (𝑏𝑐𝑐𝑏)))
20 nnord 7115 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ω → Ord 𝑏)
21 nnord 7115 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ ω → Ord 𝑐)
22 ordtri3 5797 . . . . . . 7 ((Ord 𝑏 ∧ Ord 𝑐) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏𝑐𝑐𝑏)))
2320, 21, 22syl2an 493 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏𝑐𝑐𝑏)))
2423adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏𝑐𝑐𝑏)))
2519, 24sylibrd 249 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝐺𝑏) = (𝐺𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
2625ralrimivva 3000 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ ω ((𝐺𝑏) = (𝐺𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
27 dff13 6552 . . 3 (𝐺:ω–1-1𝐴 ↔ (𝐺:ω⟶𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ ω ((𝐺𝑏) = (𝐺𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
285, 26, 27sylanbrc 699 . 2 (𝜑𝐺:ω–1-1𝐴)
29 f1domg 8017 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐺:ω–1-1𝐴 → ω ≼ 𝐴))
3028, 29syl5com 31 1 (𝜑 → (𝐴𝑉 → ω ≼ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  cdif 3604  wss 3607   class class class wbr 4685  ccnv 5142  cres 5145  Ord word 5760  wf 5922  1-1wf1 5923  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  ωcom 7107  reccrdg 7550  cdom 7995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-dom 7999
This theorem is referenced by:  infpssr  9168
  Copyright terms: Public domain W3C validator