MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpssrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infpssrlem2 9111
Description: Lemma for infpssr 9115. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
infpssrlem.a (𝜑𝐵𝐴)
infpssrlem.c (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
infpssrlem.d (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐵))
infpssrlem.e 𝐺 = (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
infpssrlem2 (𝑀 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑀) = (𝐹‘(𝐺𝑀)))

Proof of Theorem infpssrlem2
StepHypRef Expression
1 frsuc 7517 . 2 (𝑀 ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)‘suc 𝑀) = (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)‘𝑀)))
2 infpssrlem.e . . 3 𝐺 = (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)
32fveq1i 6179 . 2 (𝐺‘suc 𝑀) = ((rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)‘suc 𝑀)
42fveq1i 6179 . . 3 (𝐺𝑀) = ((rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)‘𝑀)
54fveq2i 6181 . 2 (𝐹‘(𝐺𝑀)) = (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)‘𝑀))
61, 3, 53eqtr4g 2679 1 (𝑀 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑀) = (𝐹‘(𝐺𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  cdif 3564  wss 3567  ccnv 5103  cres 5106  suc csuc 5713  1-1-ontowf1o 5875  cfv 5876  ωcom 7050  reccrdg 7490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491
This theorem is referenced by:  infpssrlem3  9112  infpssrlem4  9113
  Copyright terms: Public domain W3C validator