MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infpnlem1 15661
Description: Lemma for infpn 15663. The smallest divisor (greater than 1) 𝑀 of 𝑁! + 1 is a prime greater than 𝑁. (Contributed by NM, 5-May-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
infpnlem.1 𝐾 = ((!‘𝑁) + 1)
Assertion
Ref Expression
infpnlem1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → (𝑁 < 𝑀 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝑗,𝑀   𝑗,𝐾

Proof of Theorem infpnlem1
StepHypRef Expression
1 nnre 11065 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
2 nnre 11065 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 lenlt 10154 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
41, 2, 3syl2anr 494 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
54adantr 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
6 nnnn0 11337 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 facndiv 13115 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑀𝑀𝑁)) → ¬ (((!‘𝑁) + 1) / 𝑀) ∈ ℤ)
8 infpnlem.1 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = ((!‘𝑁) + 1)
98oveq1i 6700 . . . . . . . . . 10 (𝐾 / 𝑀) = (((!‘𝑁) + 1) / 𝑀)
10 nnz 11437 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (𝐾 / 𝑀) ∈ ℤ)
119, 10syl5eqelr 2735 . . . . . . . . 9 ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (((!‘𝑁) + 1) / 𝑀) ∈ ℤ)
127, 11nsyl 135 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑀𝑀𝑁)) → ¬ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ)
136, 12sylanl1 683 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑀𝑀𝑁)) → ¬ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ)
1413expr 642 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀𝑁 → ¬ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ))
155, 14sylbird 250 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → (¬ 𝑁 < 𝑀 → ¬ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ))
1615con4d 114 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → 𝑁 < 𝑀))
1716expimpd 628 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → 𝑁 < 𝑀))
1817adantrd 483 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → 𝑁 < 𝑀))
19 faccl 13110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
206, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2120peano2nnd 11075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) + 1) ∈ ℕ)
228, 21syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
2322nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
24 nndivtr 11100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) ∧ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ)) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ)
2524ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
26253com13 1289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
27263expa 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
2823, 27sylanl1 683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
2928adantrl 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
30 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
31 letri3 10161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑗 = 𝑀 ↔ (𝑗𝑀𝑀𝑗)))
3230, 1, 31syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑗 = 𝑀 ↔ (𝑗𝑀𝑀𝑗)))
3332biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑗𝑀𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀))
3433exp4b 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑗𝑀 → (𝑀𝑗𝑗 = 𝑀))))
3534com3l 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑗𝑀 → (𝑗 ∈ ℕ → (𝑀𝑗𝑗 = 𝑀))))
3635imp32 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑀𝑗𝑗 = 𝑀))
3736adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑀𝑗𝑗 = 𝑀))
3837imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
3938com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))
4029, 39sylan2d 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → ((1 < 𝑗 ∧ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ)) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))
4140exp4d 636 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (1 < 𝑗 → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))
4241com24 95 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (1 < 𝑗 → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))
4342exp32 630 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑗𝑀 → (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (1 < 𝑗 → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))))
4443com24 95 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗𝑀 → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (1 < 𝑗 → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))))
4544imp31 447 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗𝑀 → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (1 < 𝑗 → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))
4645com14 96 . . . . . . . . 9 (1 < 𝑗 → (𝑗𝑀 → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))
47463imp 1275 . . . . . . . 8 ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))
4847com3l 89 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
4948ralimdva 2991 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
5049ex 449 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀))))
5150adantld 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀))))
5251impd 446 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
53 prime 11496 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀)) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
5453adantl 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀)) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
5552, 54sylibrd 249 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀))))
5618, 55jcad 554 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → (𝑁 < 𝑀 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  !cfa 13100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-fac 13101
This theorem is referenced by:  infpnlem2  15662
  Copyright terms: Public domain W3C validator