Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infleinflem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infleinflem1 40102
Description: Lemma for infleinf 40104, case 𝐵 ≠ ∅ ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infleinflem1.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
infleinflem1.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
infleinflem1.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
infleinflem1.x (𝜑𝑋𝐵)
infleinflem1.i (𝜑𝑋 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)))
infleinflem1.z (𝜑𝑍𝐴)
infleinflem1.l (𝜑𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)))
Assertion
Ref Expression
infleinflem1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))

Proof of Theorem infleinflem1
StepHypRef Expression
1 infleinflem1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
2 infxrcl 12368 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4 id 22 . . 3 (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6 infleinflem1.z . . 3 (𝜑𝑍𝐴)
71, 6sseldd 3753 . 2 (𝜑𝑍 ∈ ℝ*)
8 infleinflem1.b . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
9 infxrcl 12368 . . . 4 (𝐵 ⊆ ℝ* → inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11 infleinflem1.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
12 rpxr 12043 . . . 4 (𝑊 ∈ ℝ+𝑊 ∈ ℝ*)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ℝ*)
1410, 13xaddcld 12336 . 2 (𝜑 → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊) ∈ ℝ*)
15 infxrlb 12369 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑍𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑍)
161, 6, 15syl2anc 573 . 2 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑍)
17 infleinflem1.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
188sselda 3752 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1917, 18mpdan 667 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
2011rpred 12075 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
2120rehalfcld 11481 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 / 2) ∈ ℝ)
2221rexrd 10291 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 / 2) ∈ ℝ*)
2319, 22xaddcld 12336 . . 3 (𝜑 → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ∈ ℝ*)
24 infleinflem1.l . . 3 (𝜑𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)))
25 pnfge 12169 . . . . . . 7 ((𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ∈ ℝ* → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ +∞)
2623, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ +∞)
2726adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ +∞)
28 oveq1 6800 . . . . . . 7 (inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞ → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊) = (+∞ +𝑒 𝑊))
2928adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊) = (+∞ +𝑒 𝑊))
30 rpre 12042 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℝ+𝑊 ∈ ℝ)
31 renemnf 10290 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℝ → 𝑊 ≠ -∞)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℝ+𝑊 ≠ -∞)
33 xaddpnf2 12263 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℝ*𝑊 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝑊) = +∞)
3412, 32, 33syl2anc 573 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℝ+ → (+∞ +𝑒 𝑊) = +∞)
3511, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (+∞ +𝑒 𝑊) = +∞)
3635adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (+∞ +𝑒 𝑊) = +∞)
3729, 36eqtr2d 2806 . . . . 5 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
3827, 37breqtrd 4812 . . . 4 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
398, 17sseldd 3753 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
4010, 22xaddcld 12336 . . . . . . 7 (𝜑 → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) ∈ ℝ*)
41 rphalfcl 12061 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℝ+ → (𝑊 / 2) ∈ ℝ+)
4211, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊 / 2) ∈ ℝ+)
4342rpxrd 12076 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 / 2) ∈ ℝ*)
44 infleinflem1.i . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)))
4539, 40, 43, 44xleadd1d 40061 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ ((inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) +𝑒 (𝑊 / 2)))
4645adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ ((inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) +𝑒 (𝑊 / 2)))
4710adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
48 neqne 2951 . . . . . . . 8 (¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞ → inf(𝐵, ℝ*, < ) ≠ +∞)
4948adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐵, ℝ*, < ) ≠ +∞)
5043adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑊 / 2) ∈ ℝ*)
5111adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑊 ∈ ℝ+)
52 rpre 12042 . . . . . . . . 9 ((𝑊 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑊 / 2) ∈ ℝ)
53 renepnf 10289 . . . . . . . . 9 ((𝑊 / 2) ∈ ℝ → (𝑊 / 2) ≠ +∞)
5441, 52, 533syl 18 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℝ+ → (𝑊 / 2) ≠ +∞)
5551, 54syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑊 / 2) ≠ +∞)
56 xaddass2 12285 . . . . . . 7 (((inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) ≠ +∞) ∧ ((𝑊 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑊 / 2) ≠ +∞) ∧ ((𝑊 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑊 / 2) ≠ +∞)) → ((inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) +𝑒 (𝑊 / 2)) = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2))))
5747, 49, 50, 55, 50, 55, 56syl222anc 1492 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → ((inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) +𝑒 (𝑊 / 2)) = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2))))
58 rehalfcl 11460 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℝ → (𝑊 / 2) ∈ ℝ)
5958, 58rexaddd 12270 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℝ → ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2)) = ((𝑊 / 2) + (𝑊 / 2)))
60 recn 10228 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℝ → 𝑊 ∈ ℂ)
61 2halves 11462 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂ → ((𝑊 / 2) + (𝑊 / 2)) = 𝑊)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℝ → ((𝑊 / 2) + (𝑊 / 2)) = 𝑊)
6359, 62eqtrd 2805 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℝ → ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2)) = 𝑊)
6463oveq2d 6809 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℝ → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2))) = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
6551, 30, 643syl 18 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2))) = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
6657, 65eqtrd 2805 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → ((inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) +𝑒 (𝑊 / 2)) = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
6746, 66breqtrd 4812 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
6838, 67pm2.61dan 814 . . 3 (𝜑 → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
697, 23, 14, 24, 68xrletrd 12198 . 2 (𝜑𝑍 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
705, 7, 14, 16, 69xrletrd 12198 1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wss 3723   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  infcinf 8503  cc 10136  cr 10137   + caddc 10141  +∞cpnf 10273  -∞cmnf 10274  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277   / cdiv 10886  2c2 11272  +crp 12035   +𝑒 cxad 12149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-2 11281  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152
This theorem is referenced by:  infleinf  40104
  Copyright terms: Public domain W3C validator