Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infleinf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infleinf2 40158
 Description: If any element in 𝐵 is larger or equal to an element in 𝐴, then the infimum of 𝐴 is smaller or equal to the infimum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infleinf2.x 𝑥𝜑
infleinf2.p 𝑦𝜑
infleinf2.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
infleinf2.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
infleinf2.y ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Assertion
Ref Expression
infleinf2 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infleinf2
StepHypRef Expression
1 infleinf2.x . . 3 𝑥𝜑
2 infleinf2.y . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
3 infleinf2.p . . . . . 6 𝑦𝜑
4 nfv 1993 . . . . . 6 𝑦 𝑥𝐵
53, 4nfan 1978 . . . . 5 𝑦(𝜑𝑥𝐵)
6 nfv 1993 . . . . 5 𝑦inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥
7 infleinf2.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
87infxrcld 40129 . . . . . . . . 9 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
983ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴𝑦𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1093adant1r 1188 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
117sselda 3745 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
12113adant3 1127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ*)
13123adant1r 1188 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14 infleinf2.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
1514sselda 3745 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16153ad2ant1 1128 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
177adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
18 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
19 infxrlb 12378 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
2017, 18, 19syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
21203adant3 1127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴𝑦𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
22213adant1r 1188 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
23 simp3 1133 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
2410, 13, 16, 22, 23xrletrd 12207 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
25243exp 1113 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑦𝐴 → (𝑦𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)))
265, 6, 25rexlimd 3165 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (∃𝑦𝐴 𝑦𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
272, 26mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
281, 27ralrimia 39833 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
29 infxrgelb 12379 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
3014, 8, 29syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
3128, 30mpbird 247 1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072  Ⅎwnf 1857   ∈ wcel 2140  ∀wral 3051  ∃wrex 3052   ⊆ wss 3716   class class class wbr 4805  infcinf 8515  ℝ*cxr 10286   < clt 10287   ≤ cle 10288 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-sup 8516  df-inf 8517  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482 This theorem is referenced by:  infrnmptle  40167  infxrpnf  40191
 Copyright terms: Public domain W3C validator