Theorem inffzOLD 31947

Description: The infimum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) Obsolete version of inffz 31946 as of 10-Oct-2021. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
inffzOLD	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → sup((𝑀...𝑁), ℤ, ◡ < ) = 𝑀)

Proof of Theorem inffzOLD

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 11585	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2		ltso 10319	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
3		soss 5188	. . . . 5 ⊢ (ℤ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℤ))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . . 4 ⊢ < Or ℤ
5		cnvso 5818	. . . 4 ⊢ ( < Or ℤ ↔ ◡ < Or ℤ)
6	4, 5	mpbi 220	. . 3 ⊢ ◡ < Or ℤ
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ◡ < Or ℤ)
8		eluzel2 11892	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9		eluzfz1 12554	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
10		elfzle1 12550	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑥)
11	10	adantl 467	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
12	8	zred 11683	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
13		elfzelz 12548	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
14	13	zred 11683	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		lenlt 10317	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
16	12, 14, 15	syl2an 575	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
17	11, 16	mpbid 222	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑥 < 𝑀)
18		brcnvg 5441	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀◡ < 𝑥 ↔ 𝑥 < 𝑀))
19	18	notbid 307	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (¬ 𝑀◡ < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
20	8, 19	sylan 561	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (¬ 𝑀◡ < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
21	17, 20	mpbird 247	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑀◡ < 𝑥)
22	7, 8, 9, 21	supmax 8528	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → sup((𝑀...𝑁), ℤ, ◡ < ) = 𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3721   class class class wbr 4784   Or wor 5169  ^◡ccnv 5248  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  supcsup 8501  ℝcr 10136   < clt 10275   ≤ cle 10276  ℤcz 11578  ℤ_≥cuz 11887  ...cfz 12532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-neg 10470  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533

This theorem is referenced by: (None)