Theorem inffzOLD 31590

Description: The infimum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) Obsolete version of inffz 31589 as of 10-Oct-2021. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
inffzOLD	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → sup((𝑀...𝑁), ℤ, ◡ < ) = 𝑀)

Proof of Theorem inffzOLD

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 11369	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2		ltso 10103	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
3		soss 5043	. . . . 5 ⊢ (ℤ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℤ))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . . 4 ⊢ < Or ℤ
5		cnvso 5662	. . . 4 ⊢ ( < Or ℤ ↔ ◡ < Or ℤ)
6	4, 5	mpbi 220	. . 3 ⊢ ◡ < Or ℤ
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ◡ < Or ℤ)
8		eluzel2 11677	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9		eluzfz1 12333	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
10		elfzle1 12329	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑥)
11	10	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
12	8	zred 11467	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
13		elfzelz 12327	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
14	13	zred 11467	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		lenlt 10101	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
16	12, 14, 15	syl2an 494	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
17	11, 16	mpbid 222	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑥 < 𝑀)
18		brcnvg 5292	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀◡ < 𝑥 ↔ 𝑥 < 𝑀))
19	18	notbid 308	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (¬ 𝑀◡ < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
20	8, 19	sylan 488	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (¬ 𝑀◡ < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
21	17, 20	mpbird 247	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑀◡ < 𝑥)
22	7, 8, 9, 21	supmax 8358	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → sup((𝑀...𝑁), ℤ, ◡ < ) = 𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ⊆ wss 3567   class class class wbr 4644   Or wor 5024  ^◡ccnv 5103  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  supcsup 8331  ℝcr 9920   < clt 10059   ≤ cle 10060  ℤcz 11362  ℤ_≥cuz 11672  ...cfz 12311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-neg 10254  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312

This theorem is referenced by: (None)