Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inffz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inffz 31942
 Description: The infimum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by AV, 10-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
inffz (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → inf((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)

Proof of Theorem inffz
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 11596 . . . 4 ℤ ⊆ ℝ
2 ltso 10330 . . . 4 < Or ℝ
3 soss 5205 . . . 4 (ℤ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℤ))
41, 2, 3mp2 9 . . 3 < Or ℤ
54a1i 11 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → < Or ℤ)
6 eluzel2 11904 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 eluzfz1 12561 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
8 elfzle1 12557 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝑥)
98adantl 473 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝑥)
106zred 11694 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
11 elfzelz 12555 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
1211zred 11694 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
13 lenlt 10328 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
1410, 12, 13syl2an 495 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
159, 14mpbid 222 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑥 < 𝑀)
165, 6, 7, 15infmin 8567 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → inf((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804   Or wor 5186  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  infcinf 8514  ℝcr 10147   < clt 10286   ≤ cle 10287  ℤcz 11589  ℤ≥cuz 11899  ...cfz 12539 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-neg 10481  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator