MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inffien Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inffien 9086
Description: The set of finite intersections of an infinite well-orderable set is equinumerous to the set itself. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
inffien ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem inffien
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infpwfien 9085 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ 𝐴)
2 relen 8114 . . . . . . . . 9 Rel ≈
32brrelexi 5298 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
41, 3syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
5 difss 3888 . . . . . . 7 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
6 ssdomg 8155 . . . . . . 7 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V → (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
74, 5, 6mpisyl 21 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
8 domentr 8168 . . . . . 6 ((((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ 𝐴)
97, 1, 8syl2anc 573 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ 𝐴)
10 numdom 9061 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card)
119, 10syldan 579 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card)
12 eqid 2771 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑥)
1312fifo 8494 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom card → (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑥):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴))
1413adantr 466 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑥):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴))
15 fodomnum 9080 . . . 4 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card → ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑥):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})))
1611, 14, 15sylc 65 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}))
17 domtr 8162 . . 3 (((fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ 𝐴)
1816, 9, 17syl2anc 573 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ 𝐴)
19 fvex 6342 . . 3 (fi‘𝐴) ∈ V
20 ssfii 8481 . . . 4 (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
2120adantr 466 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
22 ssdomg 8155 . . 3 ((fi‘𝐴) ∈ V → (𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) → 𝐴 ≼ (fi‘𝐴)))
2319, 21, 22mpsyl 68 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (fi‘𝐴))
24 sbth 8236 . 2 (((fi‘𝐴) ≼ 𝐴𝐴 ≼ (fi‘𝐴)) → (fi‘𝐴) ≈ 𝐴)
2518, 23, 24syl2anc 573 1 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145  Vcvv 3351  cdif 3720  cin 3722  wss 3723  c0 4063  𝒫 cpw 4297  {csn 4316   cint 4611   class class class wbr 4786  cmpt 4863  dom cdm 5249  ontowfo 6029  cfv 6031  ωcom 7212  cen 8106  cdom 8107  Fincfn 8109  ficfi 8472  cardccrd 8961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-seqom 7696  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8473  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator