MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infcllem 8561
Description: Lemma for infcl 8562, inflb 8563, infglb 8564, etc. (Contributed by AV, 3-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
infcl.1 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
infcl.2 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
Assertion
Ref Expression
infcllem (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem infcllem
StepHypRef Expression
1 infcl.2 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
2 vex 3344 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
3 vex 3344 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
42, 3brcnv 5461 . . . . . . 7 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
54bicomi 214 . . . . . 6 (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦)
65notbii 309 . . . . 5 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦)
76ralbii 3119 . . . 4 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
83, 2brcnv 5461 . . . . . . 7 (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦)
98bicomi 214 . . . . . 6 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
10 vex 3344 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ V
113, 10brcnv 5461 . . . . . . . 8 (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)
1211bicomi 214 . . . . . . 7 (𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧)
1312rexbii 3180 . . . . . 6 (∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)
149, 13imbi12i 339 . . . . 5 ((𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
1514ralbii 3119 . . . 4 (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
167, 15anbi12i 735 . . 3 ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
1716rexbii 3180 . 2 (∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
181, 17sylib 208 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  wral 3051  wrex 3052   class class class wbr 4805   Or wor 5187  ccnv 5266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pr 5056
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-br 4806  df-opab 4866  df-cnv 5275
This theorem is referenced by:  infcl  8562  inflb  8563  infglb  8564  infglbb  8565  infiso  8581
  Copyright terms: Public domain W3C validator