MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infcdaabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infcdaabs 8988
Description: Absorption law for addition to an infinite cardinal. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infcdaabs ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infcdaabs
StepHypRef Expression
1 cdadom2 8969 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
213ad2ant3 1082 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
3 simp1 1059 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
4 xp2cda 8962 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
53, 4syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
62, 5breqtrrd 4651 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 2𝑜))
7 2onn 7680 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ ω
8 nnsdom 8511 . . . . . . 7 (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ≺ ω)
9 sdomdom 7943 . . . . . . 7 (2𝑜 ≺ ω → 2𝑜 ≼ ω)
107, 8, 9mp2b 10 . . . . . 6 2𝑜 ≼ ω
11 simp2 1060 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → ω ≼ 𝐴)
12 domtr 7969 . . . . . 6 ((2𝑜 ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 2𝑜𝐴)
1310, 11, 12sylancr 694 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 2𝑜𝐴)
14 xpdom2g 8016 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 2𝑜𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
153, 13, 14syl2anc 692 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
16 domtr 7969 . . . 4 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 2𝑜) ∧ (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
176, 15, 16syl2anc 692 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18 infxpidm2 8800 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
19183adant3 1079 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
20 domentr 7975 . . 3 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝐴)
2117, 19, 20syl2anc 692 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝐴)
22 reldom 7921 . . . . 5 Rel ≼
2322brrelexi 5128 . . . 4 (𝐵𝐴𝐵 ∈ V)
24233ad2ant3 1082 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
25 cdadom3 8970 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
263, 24, 25syl2anc 692 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
27 sbth 8040 . 2 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐴)
2821, 26, 27syl2anc 692 1 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3190   class class class wbr 4623   × cxp 5082  dom cdm 5084  (class class class)co 6615  ωcom 7027  2𝑜c2o 7514  cen 7912  cdom 7913  csdm 7914  cardccrd 8721   +𝑐 ccda 8949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950
This theorem is referenced by:  infunabs  8989  infcda  8990  infdif  8991
  Copyright terms: Public domain W3C validator