MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inf3lem2 8564
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 8570 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3 𝐴 ∈ V
inf3lem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
inf3lem2 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lem2
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑣 = ∅ → (𝐹𝑣) = (𝐹‘∅))
21neeq1d 2882 . . . 4 (𝑣 = ∅ → ((𝐹𝑣) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹‘∅) ≠ 𝑥))
32imbi2d 329 . . 3 (𝑣 = ∅ → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑣) ≠ 𝑥) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹‘∅) ≠ 𝑥)))
4 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑣 = 𝑢 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑢))
54neeq1d 2882 . . . 4 (𝑣 = 𝑢 → ((𝐹𝑣) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥))
65imbi2d 329 . . 3 (𝑣 = 𝑢 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑣) ≠ 𝑥) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑢) ≠ 𝑥)))
7 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑣 = suc 𝑢 → (𝐹𝑣) = (𝐹‘suc 𝑢))
87neeq1d 2882 . . . 4 (𝑣 = suc 𝑢 → ((𝐹𝑣) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
98imbi2d 329 . . 3 (𝑣 = suc 𝑢 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑣) ≠ 𝑥) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
10 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑣 = 𝐴 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝐴))
1110neeq1d 2882 . . . 4 (𝑣 = 𝐴 → ((𝐹𝑣) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
1211imbi2d 329 . . 3 (𝑣 = 𝐴 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑣) ≠ 𝑥) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥)))
13 inf3lem.1 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
14 inf3lem.2 . . . . . . . 8 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
15 inf3lem.3 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ V
16 inf3lem.4 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
1713, 14, 15, 16inf3lemb 8560 . . . . . . 7 (𝐹‘∅) = ∅
1817eqeq1i 2656 . . . . . 6 ((𝐹‘∅) = 𝑥 ↔ ∅ = 𝑥)
19 eqcom 2658 . . . . . 6 (∅ = 𝑥𝑥 = ∅)
2018, 19sylbb 209 . . . . 5 ((𝐹‘∅) = 𝑥𝑥 = ∅)
2120necon3i 2855 . . . 4 (𝑥 ≠ ∅ → (𝐹‘∅) ≠ 𝑥)
2221adantr 480 . . 3 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹‘∅) ≠ 𝑥)
23 vex 3234 . . . . . . . . 9 𝑢 ∈ V
2413, 14, 23, 16inf3lemd 8562 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ω → (𝐹𝑢) ⊆ 𝑥)
25 df-pss 3623 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑢) ⊊ 𝑥 ↔ ((𝐹𝑢) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥))
26 pssnel 4072 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑢) ⊊ 𝑥 → ∃𝑣(𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
2725, 26sylbir 225 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑢) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥) → ∃𝑣(𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
28 ssel 3630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 𝑥 → (𝑣𝑥𝑣 𝑥))
29 eluni 4471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑓(𝑣𝑓𝑓𝑥))
3028, 29syl6ib 241 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑥 → (𝑣𝑥 → ∃𝑓(𝑣𝑓𝑓𝑥)))
31 eleq2 2719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥 → (𝑓 ∈ (𝐹‘suc 𝑢) ↔ 𝑓𝑥))
3231biimparc 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓𝑥 ∧ (𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥) → 𝑓 ∈ (𝐹‘suc 𝑢))
3313, 14, 23, 16inf3lemc 8561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑢 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝑢) = (𝐺‘(𝐹𝑢)))
3433eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 ∈ ω → (𝑓 ∈ (𝐹‘suc 𝑢) ↔ 𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢))))
35 elin 3829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 ∈ (𝑓𝑥) ↔ (𝑣𝑓𝑣𝑥))
36 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑓 ∈ V
37 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹𝑢) ∈ V
3813, 14, 36, 37inf3lema 8559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢)) ↔ (𝑓𝑥 ∧ (𝑓𝑥) ⊆ (𝐹𝑢)))
3938simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢)) → (𝑓𝑥) ⊆ (𝐹𝑢))
4039sseld 3635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢)) → (𝑣 ∈ (𝑓𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
4135, 40syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑢)) → ((𝑣𝑓𝑣𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
4234, 41syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ∈ ω → (𝑓 ∈ (𝐹‘suc 𝑢) → ((𝑣𝑓𝑣𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))
4332, 42syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 ∈ ω → ((𝑓𝑥 ∧ (𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥) → ((𝑣𝑓𝑣𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))
4443com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ ω → ((𝑣𝑓𝑣𝑥) → ((𝑓𝑥 ∧ (𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))
4544exp5c 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 ∈ ω → (𝑣𝑓 → (𝑣𝑥 → (𝑓𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))))
4645com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ ω → (𝑣𝑓 → (𝑓𝑥 → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))))
4746impd 446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ ω → ((𝑣𝑓𝑓𝑥) → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))))
4847exlimdv 1901 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 ∈ ω → (∃𝑓(𝑣𝑓𝑓𝑥) → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))))
4930, 48sylan9r 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑣𝑥 → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))))
5049pm2.43d 53 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑣𝑥 → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢))))
51 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)) → ((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)))
5251necon3bd 2837 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹‘suc 𝑢) = 𝑥𝑣 ∈ (𝐹𝑢)) → (¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5350, 52syl6 35 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑣𝑥 → (¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
5453impd 446 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5554exlimdv 1901 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (∃𝑣(𝑣𝑥 ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝑢)) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5627, 55syl5 34 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → (((𝐹𝑢) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5724, 56sylani 687 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝑢 ∈ ω ∧ (𝐹𝑢) ≠ 𝑥) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))
5857exp4b 631 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ω → (𝑥 𝑥 → (𝑢 ∈ ω → ((𝐹𝑢) ≠ 𝑥 → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥))))
5958pm2.43a 54 . . . . 5 (𝑢 ∈ ω → (𝑥 𝑥 → ((𝐹𝑢) ≠ 𝑥 → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
6059adantld 482 . . . 4 (𝑢 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝐹𝑢) ≠ 𝑥 → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
6160a2d 29 . . 3 (𝑢 ∈ ω → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝑢) ≠ 𝑥) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹‘suc 𝑢) ≠ 𝑥)))
623, 6, 9, 12, 22, 61finds 7134 . 2 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
6362com12 32 1 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  wpss 3608  c0 3948   cuni 4468  cmpt 4762  cres 5145  suc csuc 5763  cfv 5926  ωcom 7107  reccrdg 7550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551
This theorem is referenced by:  inf3lem3  8565
  Copyright terms: Public domain W3C validator