Theorem inelfi 8491

Description: The intersection of two sets is a finite intersection. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
inelfi	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝑋))

Proof of Theorem inelfi

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prelpwi 5064	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑋)
2	1	3adant1 1125	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑋)
3		prfi 8402	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
5	2, 4	elind 3941	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
6		intprg 4663	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
7	6	3adant1 1125	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
8	7	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ {𝐴, 𝐵})
9		inteq 4630	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = {𝐴, 𝐵} → ∩ 𝑝 = ∩ {𝐴, 𝐵})
10	9	eqeq2d 2770	. . . 4 ⊢ (𝑝 = {𝐴, 𝐵} → ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ 𝑝 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ {𝐴, 𝐵}))
11	10	rspcev 3449	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ {𝐴, 𝐵}) → ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ 𝑝)
12	5, 8, 11	syl2anc 696	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ 𝑝)
13		inex1g 4953	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V)
14	13	3ad2ant2 1129	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V)
15		simp1 1131	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
16		elfi 8486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ 𝑝))
17	14, 15, 16	syl2anc 696	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ 𝑝))
18	12, 17	mpbird 247	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∃wrex 3051  Vcvv 3340   ∩ cin 3714  𝒫 cpw 4302  {cpr 4323  ∩ cint 4627  ‘cfv 6049  Fincfn 8123  ficfi 8483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-fin 8127  df-fi 8484

This theorem is referenced by:  neiptoptop  21157  sigapildsyslem  30554