Theorem indstr 11794

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstr.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
indstr.2	⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
indstr	⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem indstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.24 944	. . . . . 6 ⊢ ¬ (𝜑 ∧ ¬ 𝜑)
2		nnre 11065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
3		nnre 11065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
4		lenlt 10154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
5	2, 3, 4	syl2an 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
6	5	imbi2d 329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (¬ 𝜓 → ¬ 𝑦 < 𝑥)))
7		con34b 305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 < 𝑥 → 𝜓) ↔ (¬ 𝜓 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
8	6, 7	syl6bbr 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓)))
9	8	ralbidva 3014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓)))
10		indstr.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
11	9, 10	sylbid 230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝜑))
12	11	anim2d 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (¬ 𝜑 ∧ 𝜑)))
13		ancom 465	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝜑 ∧ 𝜑) ↔ (𝜑 ∧ ¬ 𝜑))
14	12, 13	syl6ib 241	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝜑 ∧ ¬ 𝜑)))
15	1, 14	mtoi 190	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ¬ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
16	15	nrex 3029	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))
17		indstr.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
18	17	notbid 307	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜓))
19	18	nnwos 11793	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
20	16, 19	mto 188	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑
21		dfral2 3023	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ 𝜑 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑)
22	20, 21	mpbir 221	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ 𝜑
23	22	rspec 2960	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   class class class wbr 4685  ℝcr 9973   < clt 10112   ≤ cle 10113  ℕcn 11058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726

This theorem is referenced by:  indstr2  11805