Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indpreima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indpreima 30417
 Description: A function with range {0, 1} as an indicator of the preimage of {1}. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indpreima ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})))

Proof of Theorem indpreima
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6206 . . 3 (𝐹:𝑂⟶{0, 1} → 𝐹 Fn 𝑂)
21adantl 473 . 2 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 Fn 𝑂)
3 cnvimass 5643 . . . . 5 (𝐹 “ {1}) ⊆ dom 𝐹
4 fdm 6212 . . . . . 6 (𝐹:𝑂⟶{0, 1} → dom 𝐹 = 𝑂)
54adantl 473 . . . . 5 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → dom 𝐹 = 𝑂)
63, 5syl5sseq 3794 . . . 4 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → (𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂)
7 indf 30407 . . . 4 ((𝑂𝑉 ∧ (𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})):𝑂⟶{0, 1})
86, 7syldan 488 . . 3 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})):𝑂⟶{0, 1})
9 ffn 6206 . . 3 (((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})):𝑂⟶{0, 1} → ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})) Fn 𝑂)
108, 9syl 17 . 2 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})) Fn 𝑂)
11 simpr 479 . . . . 5 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹:𝑂⟶{0, 1})
1211ffvelrnda 6523 . . . 4 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (𝐹𝑥) ∈ {0, 1})
13 prcom 4411 . . . 4 {0, 1} = {1, 0}
1412, 13syl6eleq 2849 . . 3 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (𝐹𝑥) ∈ {1, 0})
158ffvelrnda 6523 . . . 4 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥) ∈ {0, 1})
1615, 13syl6eleq 2849 . . 3 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥) ∈ {1, 0})
17 simpll 807 . . . . 5 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → 𝑂𝑉)
186adantr 472 . . . . 5 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂)
19 simpr 479 . . . . 5 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → 𝑥𝑂)
20 ind1a 30411 . . . . 5 ((𝑂𝑉 ∧ (𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂𝑥𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {1})))
2117, 18, 19, 20syl3anc 1477 . . . 4 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {1})))
22 fniniseg 6502 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑂 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {1}) ↔ (𝑥𝑂 ∧ (𝐹𝑥) = 1)))
232, 22syl 17 . . . . 5 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {1}) ↔ (𝑥𝑂 ∧ (𝐹𝑥) = 1)))
2423baibd 986 . . . 4 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {1}) ↔ (𝐹𝑥) = 1))
2521, 24bitr2d 269 . . 3 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → ((𝐹𝑥) = 1 ↔ (((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1))
2614, 16, 25elpreq 29688 . 2 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (𝐹𝑥) = (((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥))
272, 10, 26eqfnfvd 6478 1 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715  {csn 4321  {cpr 4323  ◡ccnv 5265  dom cdm 5266   “ cima 5269   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  0cc0 10148  1c1 10149  𝟭cind 30402 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-ind 30403 This theorem is referenced by:  indf1ofs  30418
 Copyright terms: Public domain W3C validator