Theorem indlcim 20227

Description: An independent, spanning family extends to an isomorphism from a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
indlcim.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
indlcim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
indlcim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
indlcim.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
indlcim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑇)
indlcim.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘𝑓 · 𝐴)))
indlcim.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
indlcim.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
indlcim.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
indlcim.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼–onto→𝐽)
indlcim.l	⊢ (𝜑 → 𝐴 LIndF 𝑇)
indlcim.s	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐽) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
indlcim	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMIso 𝑇))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem indlcim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indlcim.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		indlcim.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		indlcim.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
4		indlcim.v	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
5		indlcim.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘𝑓 · 𝐴)))
6		indlcim.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
7		indlcim.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
8		indlcim.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
9		indlcim.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼–onto→𝐽)
10		fofn 6155	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝐼–onto→𝐽 → 𝐴 Fn 𝐼)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐼)
12		indlcim.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 LIndF 𝑇)
13	3	lindff 20202	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 LIndF 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ LMod) → 𝐴:dom 𝐴⟶𝐶)
14	12, 6, 13	syl2anc 694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:dom 𝐴⟶𝐶)
15		frn 6091	. . . . 5 ⊢ (𝐴:dom 𝐴⟶𝐶 → ran 𝐴 ⊆ 𝐶)
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 ⊆ 𝐶)
17		df-f 5930	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝐼⟶𝐶 ↔ (𝐴 Fn 𝐼 ∧ ran 𝐴 ⊆ 𝐶))
18	11, 16, 17	sylanbrc 699	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18	frlmup1 20185	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18	islindf5 20226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ 𝐸:𝐵–1-1→𝐶))
21	12, 20	mpbid 222	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐵–1-1→𝐶)
22		indlcim.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑇)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18, 22	frlmup3 20187	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = (𝑁‘ran 𝐴))
24		forn 6156	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:𝐼–onto→𝐽 → ran 𝐴 = 𝐽)
25	9, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 = 𝐽)
26	25	fveq2d 6233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ran 𝐴) = (𝑁‘𝐽))
27		indlcim.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐽) = 𝐶)
28	23, 26, 27	3eqtrd 2689	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = 𝐶)
29		dff1o5 6184	. . 3 ⊢ (𝐸:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ (𝐸:𝐵–1-1→𝐶 ∧ ran 𝐸 = 𝐶))
30	21, 28, 29	sylanbrc 699	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐵–1-1-onto→𝐶)
31	2, 3	islmim 19110	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ (𝐹 LMIso 𝑇) ↔ (𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ 𝐸:𝐵–1-1-onto→𝐶))
32	19, 30, 31	sylanbrc 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMIso 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  –1-1→wf1 5923  –onto→wfo 5924  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘_𝑓 cof 6937  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991   ·_𝑠 cvsca 15992   Σ_g cgsu 16148  LModclmod 18911  LSpanclspn 19019   LMHom clmhm 19067   LMIso clmim 19068   freeLMod cfrlm 20138   LIndF clindf 20191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lmhm 19070  df-lmim 19071  df-lbs 19123  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-nzr 19306  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-uvc 20170  df-lindf 20193

This theorem is referenced by:  lbslcic  20228