Theorem indistps 21037

Description: The indiscrete topology on a set 𝐴 expressed as a topological space, using implicit structure indices. The advantage of this version over indistpsx 21036 is that it is independent of the indices of the component definitions df-base 16085 and df-tset 16182, and if they are changed in the future, this theorem will not be affected. The advantage over indistps2 21038 is that it is easy to eliminate the hypotheses with eqid 2760 and vtoclg 3406 to result in a closed theorem. Theorems indistpsALT 21039 and indistps2ALT 21040 show that the two forms can be derived from each other. (Contributed by FL, 19-Jul-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
indistps.a	⊢ 𝐴 ∈ V
indistps.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), {∅, 𝐴}⟩}

Assertion

Ref	Expression
indistps	⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Proof of Theorem indistps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indistps.k	. 2 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), {∅, 𝐴}⟩}
2		0ex 4942	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
3		indistps.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
4	2, 3	unipr 4601	. . 3 ⊢ ∪ {∅, 𝐴} = (∅ ∪ 𝐴)
5		uncom 3900	. . 3 ⊢ (∅ ∪ 𝐴) = (𝐴 ∪ ∅)
6		un0 4110	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
7	4, 5, 6	3eqtrri 2787	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ {∅, 𝐴}
8		indistop 21028	. 2 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ Top
9	1, 7, 8	eltpsi 20970	1 ⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Syntax hints:   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ∪ cun 3713  ∅c0 4058  {cpr 4323  ⟨cop 4327  ∪ cuni 4588  ‘cfv 6049  ndxcnx 16076  Basecbs 16079  TopSetcts 16169  TopSpctps 20958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-tset 16182  df-rest 16305  df-topn 16306  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959

This theorem is referenced by: (None)