Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indispconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indispconn 31521
Description: The indiscrete topology (or trivial topology) on any set is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
indispconn {∅, 𝐴} ∈ PConn

Proof of Theorem indispconn
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 indistop 21006 . 2 {∅, 𝐴} ∈ Top
2 simpl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝑥 {∅, 𝐴})
3 0ex 4940 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ V
4 n0i 4061 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 {∅, 𝐴} → ¬ {∅, 𝐴} = ∅)
5 prprc2 4443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐴 ∈ V → {∅, 𝐴} = {∅})
65unieqd 4596 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 ∈ V → {∅, 𝐴} = {∅})
73unisn 4601 . . . . . . . . . . . . . . 15 {∅} = ∅
86, 7syl6eq 2808 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 ∈ V → {∅, 𝐴} = ∅)
94, 8nsyl2 142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 {∅, 𝐴} → 𝐴 ∈ V)
109adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝐴 ∈ V)
11 uniprg 4600 . . . . . . . . . . . 12 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → {∅, 𝐴} = (∅ ∪ 𝐴))
123, 10, 11sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → {∅, 𝐴} = (∅ ∪ 𝐴))
13 uncom 3898 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∪ 𝐴) = (𝐴 ∪ ∅)
14 un0 4108 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
1513, 14eqtri 2780 . . . . . . . . . . 11 (∅ ∪ 𝐴) = 𝐴
1612, 15syl6eq 2808 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → {∅, 𝐴} = 𝐴)
172, 16eleqtrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝑥𝐴)
18 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝑦 {∅, 𝐴})
1918, 16eleqtrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝑦𝐴)
2017, 19ifcld 4273 . . . . . . . 8 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴)
2120adantr 472 . . . . . . 7 (((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴)
22 eqid 2758 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))
2321, 22fmptd 6546 . . . . . 6 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴)
24 ovex 6839 . . . . . . 7 (0[,]1) ∈ V
25 elmapg 8034 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴𝑚 (0[,]1)) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴))
2610, 24, 25sylancl 697 . . . . . 6 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴𝑚 (0[,]1)) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴))
2723, 26mpbird 247 . . . . 5 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴𝑚 (0[,]1)))
28 iitopon 22881 . . . . . 6 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
29 cnindis 21296 . . . . . 6 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐴 ∈ V) → (II Cn {∅, 𝐴}) = (𝐴𝑚 (0[,]1)))
3028, 10, 29sylancr 698 . . . . 5 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → (II Cn {∅, 𝐴}) = (𝐴𝑚 (0[,]1)))
3127, 30eleqtrrd 2840 . . . 4 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (II Cn {∅, 𝐴}))
32 0elunit 12481 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
33 iftrue 4234 . . . . . 6 (𝑧 = 0 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑥)
34 vex 3341 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
3533, 22, 34fvmpt 6442 . . . . 5 (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥)
3632, 35mp1i 13 . . . 4 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥)
37 1elunit 12482 . . . . 5 1 ∈ (0[,]1)
38 ax-1ne0 10195 . . . . . . . 8 1 ≠ 0
39 neeq1 2992 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (𝑧 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
4038, 39mpbiri 248 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 → 𝑧 ≠ 0)
41 ifnefalse 4240 . . . . . . 7 (𝑧 ≠ 0 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑦)
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (𝑧 = 1 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑦)
43 vex 3341 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
4442, 22, 43fvmpt 6442 . . . . 5 (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)
4537, 44mp1i 13 . . . 4 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)
46 fveq1 6349 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (𝑓‘0) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0))
4746eqeq1d 2760 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → ((𝑓‘0) = 𝑥 ↔ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥))
48 fveq1 6349 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (𝑓‘1) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1))
4948eqeq1d 2760 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → ((𝑓‘1) = 𝑦 ↔ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦))
5047, 49anbi12d 749 . . . . 5 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)))
5150rspcev 3447 . . . 4 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (II Cn {∅, 𝐴}) ∧ (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
5231, 36, 45, 51syl12anc 1475 . . 3 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → ∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
5352rgen2a 3113 . 2 𝑥 {∅, 𝐴}∀𝑦 {∅, 𝐴}∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)
54 eqid 2758 . . 3 {∅, 𝐴} = {∅, 𝐴}
5554ispconn 31510 . 2 ({∅, 𝐴} ∈ PConn ↔ ({∅, 𝐴} ∈ Top ∧ ∀𝑥 {∅, 𝐴}∀𝑦 {∅, 𝐴}∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)))
561, 53, 55mpbir2an 993 1 {∅, 𝐴} ∈ PConn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  wne 2930  wral 3048  wrex 3049  Vcvv 3338  cun 3711  c0 4056  ifcif 4228  {csn 4319  {cpr 4321   cuni 4586  cmpt 4879  wf 6043  cfv 6047  (class class class)co 6811  𝑚 cmap 8021  0cc0 10126  1c1 10127  [,]cicc 12369  Topctop 20898  TopOnctopon 20915   Cn ccn 21228  IIcii 22877  PConncpconn 31506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-sup 8511  df-inf 8512  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-xneg 12137  df-xadd 12138  df-xmul 12139  df-icc 12373  df-seq 12994  df-exp 13053  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-topgen 16304  df-psmet 19938  df-xmet 19939  df-met 19940  df-bl 19941  df-mopn 19942  df-top 20899  df-topon 20916  df-bases 20950  df-cn 21231  df-ii 22879  df-pconn 31508
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator