Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indf1o 30426
Description: The bijection between a power set and the set of indicator functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indf1o (𝑂𝑉 → (𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂1-1-onto→({0, 1} ↑𝑚 𝑂))

Proof of Theorem indf1o
Dummy variables 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑂𝑉𝑂𝑉)
2 0red 10247 . . 3 (𝑂𝑉 → 0 ∈ ℝ)
3 1red 10261 . . 3 (𝑂𝑉 → 1 ∈ ℝ)
4 0ne1 11294 . . . 4 0 ≠ 1
54a1i 11 . . 3 (𝑂𝑉 → 0 ≠ 1)
6 eqid 2771 . . 3 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝑎, 1, 0))) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝑎, 1, 0)))
71, 2, 3, 5, 6pw2f1o 8225 . 2 (𝑂𝑉 → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝑎, 1, 0))):𝒫 𝑂1-1-onto→({0, 1} ↑𝑚 𝑂))
8 indv 30414 . . 3 (𝑂𝑉 → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝑎, 1, 0))))
9 f1oeq1 6269 . . 3 ((𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝑎, 1, 0))) → ((𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂1-1-onto→({0, 1} ↑𝑚 𝑂) ↔ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝑎, 1, 0))):𝒫 𝑂1-1-onto→({0, 1} ↑𝑚 𝑂)))
108, 9syl 17 . 2 (𝑂𝑉 → ((𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂1-1-onto→({0, 1} ↑𝑚 𝑂) ↔ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝑎, 1, 0))):𝒫 𝑂1-1-onto→({0, 1} ↑𝑚 𝑂)))
117, 10mpbird 247 1 (𝑂𝑉 → (𝟭‘𝑂):𝒫 𝑂1-1-onto→({0, 1} ↑𝑚 𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  ifcif 4226  𝒫 cpw 4298  {cpr 4319  cmpt 4864  1-1-ontowf1o 6029  cfv 6030  (class class class)co 6796  𝑚 cmap 8013  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143  𝟭cind 30412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-map 8015  df-ind 30413
This theorem is referenced by:  indf1ofs  30428  eulerpartgbij  30774
  Copyright terms: Public domain W3C validator