Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inclfusubc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inclfusubc 42396
 Description: The "inclusion functor" from a subcategory of a category into the category itself. (Contributed by AV, 30-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
inclfusubc.j (𝜑𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
inclfusubc.s 𝑆 = (𝐶cat 𝐽)
inclfusubc.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
inclfusubc.f (𝜑𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
inclfusubc.g (𝜑𝐺 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦))))
Assertion
Ref Expression
inclfusubc (𝜑𝐹(𝑆 Func 𝐶)𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem inclfusubc
StepHypRef Expression
1 fthfunc 16789 . . 3 (𝑆 Faith 𝐶) ⊆ (𝑆 Func 𝐶)
2 inclfusubc.j . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
3 inclfusubc.s . . . . 5 𝑆 = (𝐶cat 𝐽)
4 eqid 2761 . . . . 5 (idfunc𝑆) = (idfunc𝑆)
53, 4rescfth 16819 . . . 4 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (idfunc𝑆) ∈ (𝑆 Faith 𝐶))
62, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (idfunc𝑆) ∈ (𝑆 Faith 𝐶))
71, 6sseldi 3743 . 2 (𝜑 → (idfunc𝑆) ∈ (𝑆 Func 𝐶))
8 df-br 4806 . . 3 (𝐹(𝑆 Func 𝐶)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑆 Func 𝐶))
9 inclfusubc.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
10 inclfusubc.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦))))
119, 10opeq12d 4562 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)
12 inclfusubc.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑆)
133, 4, 12idfusubc 42395 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (idfunc𝑆) = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)
142, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (idfunc𝑆) = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)
1511, 14eqtr4d 2798 . . . 4 (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ = (idfunc𝑆))
1615eleq1d 2825 . . 3 (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑆 Func 𝐶) ↔ (idfunc𝑆) ∈ (𝑆 Func 𝐶)))
178, 16syl5bb 272 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑆 Func 𝐶)𝐺 ↔ (idfunc𝑆) ∈ (𝑆 Func 𝐶)))
187, 17mpbird 247 1 (𝜑𝐹(𝑆 Func 𝐶)𝐺)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  ⟨cop 4328   class class class wbr 4805   I cid 5174   ↾ cres 5269  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815   ↦ cmpt2 6817  Basecbs 16080   ↾cat cresc 16690  Subcatcsubc 16691   Func cfunc 16736  idfunccidfu 16737   Faith cfth 16785 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-hom 16189  df-cco 16190  df-cat 16551  df-cid 16552  df-homf 16553  df-ssc 16692  df-resc 16693  df-subc 16694  df-func 16740  df-idfu 16741  df-full 16786  df-fth 16787 This theorem is referenced by:  rngcifuestrc  42526
 Copyright terms: Public domain W3C validator