MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  incexc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incexc 14689
Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. This is Metamath 100 proof #96. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexc ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
Distinct variable group:   𝐴,𝑠

Proof of Theorem incexc
StepHypRef Expression
1 unifi 8371 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2 hashcl 13260 . . . 4 ( 𝐴 ∈ Fin → (♯‘ 𝐴) ∈ ℕ0)
32nn0cnd 11466 . . 3 ( 𝐴 ∈ Fin → (♯‘ 𝐴) ∈ ℂ)
41, 3syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) ∈ ℂ)
5 simpl 474 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
6 pwfi 8377 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
75, 6sylib 208 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
8 diffi 8308 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∈ Fin)
97, 8syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∈ Fin)
10 1cnd 10169 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 1 ∈ ℂ)
1110negcld 10492 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → -1 ∈ ℂ)
12 eldifsni 4429 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → 𝑠 ≠ ∅)
1312adantl 473 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 ≠ ∅)
14 eldifi 3840 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴)
15 elpwi 4276 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐴𝑠𝐴)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → 𝑠𝐴)
17 ssfi 8296 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ Fin)
185, 16, 17syl2an 495 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 ∈ Fin)
19 hashnncl 13270 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ((♯‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
2113, 20mpbird 247 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ)
22 nnm1nn0 11447 . . . . . 6 ((♯‘𝑠) ∈ ℕ → ((♯‘𝑠) − 1) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ((♯‘𝑠) − 1) ∈ ℕ0)
2411, 23expcld 13123 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (-1↑((♯‘𝑠) − 1)) ∈ ℂ)
2516adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠𝐴)
26 simplr 809 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝐴 ⊆ Fin)
2725, 26sstrd 3719 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 ⊆ Fin)
28 unifi 8371 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
2918, 27, 28syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 ∈ Fin)
30 intssuni 4607 . . . . . . . 8 (𝑠 ≠ ∅ → 𝑠 𝑠)
3113, 30syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 𝑠)
32 ssfi 8296 . . . . . . 7 (( 𝑠 ∈ Fin ∧ 𝑠 𝑠) → 𝑠 ∈ Fin)
3329, 31, 32syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 ∈ Fin)
34 hashcl 13260 . . . . . 6 ( 𝑠 ∈ Fin → (♯‘ 𝑠) ∈ ℕ0)
3533, 34syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (♯‘ 𝑠) ∈ ℕ0)
3635nn0cnd 11466 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (♯‘ 𝑠) ∈ ℂ)
3724, 36mulcld 10173 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) ∈ ℂ)
389, 37fsumcl 14584 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) ∈ ℂ)
39 disjdif 4148 . . . . 5 ({∅} ∩ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) = ∅
4039a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ({∅} ∩ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) = ∅)
41 0elpw 4939 . . . . . . . 8 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
42 snssi 4447 . . . . . . . 8 (∅ ∈ 𝒫 𝐴 → {∅} ⊆ 𝒫 𝐴)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . 7 {∅} ⊆ 𝒫 𝐴
44 undif 4157 . . . . . . 7 ({∅} ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ({∅} ∪ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) = 𝒫 𝐴)
4543, 44mpbi 220 . . . . . 6 ({∅} ∪ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) = 𝒫 𝐴
4645eqcomi 2733 . . . . 5 𝒫 𝐴 = ({∅} ∪ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
4746a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝒫 𝐴 = ({∅} ∪ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})))
48 1cnd 10169 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
4948negcld 10492 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → -1 ∈ ℂ)
505, 15, 17syl2an 495 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑠 ∈ Fin)
51 hashcl 13260 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ Fin → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
5250, 51syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
5349, 52expcld 13123 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → (-1↑(♯‘𝑠)) ∈ ℂ)
541adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
55 inss1 3941 . . . . . . . 8 ( 𝐴 𝑠) ⊆ 𝐴
56 ssfi 8296 . . . . . . . 8 (( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝐴 𝑠) ⊆ 𝐴) → ( 𝐴 𝑠) ∈ Fin)
5754, 55, 56sylancl 697 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → ( 𝐴 𝑠) ∈ Fin)
58 hashcl 13260 . . . . . . 7 (( 𝐴 𝑠) ∈ Fin → (♯‘( 𝐴 𝑠)) ∈ ℕ0)
5957, 58syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → (♯‘( 𝐴 𝑠)) ∈ ℕ0)
6059nn0cnd 11466 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → (♯‘( 𝐴 𝑠)) ∈ ℂ)
6153, 60mulcld 10173 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) ∈ ℂ)
6240, 47, 7, 61fsumsplit 14591 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) = (Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) + Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠)))))
63 inidm 3930 . . . . . . 7 ( 𝐴 𝐴) = 𝐴
6463fveq2i 6307 . . . . . 6 (♯‘( 𝐴 𝐴)) = (♯‘ 𝐴)
6564oveq2i 6776 . . . . 5 ((♯‘ 𝐴) − (♯‘( 𝐴 𝐴))) = ((♯‘ 𝐴) − (♯‘ 𝐴))
664subidd 10493 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − (♯‘ 𝐴)) = 0)
6765, 66syl5eq 2770 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − (♯‘( 𝐴 𝐴))) = 0)
68 incexclem 14688 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − (♯‘( 𝐴 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
691, 68syldan 488 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − (♯‘( 𝐴 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
7067, 69eqtr3d 2760 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 0 = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
714, 38negsubd 10511 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) + -Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠))) = ((♯‘ 𝐴) − Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠))))
72 0ex 4898 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
73 1cnd 10169 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 1 ∈ ℂ)
7473, 4mulcld 10173 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (1 · (♯‘ 𝐴)) ∈ ℂ)
75 fveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = ∅ → (♯‘𝑠) = (♯‘∅))
76 hash0 13271 . . . . . . . . . . . 12 (♯‘∅) = 0
7775, 76syl6eq 2774 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = ∅ → (♯‘𝑠) = 0)
7877oveq2d 6781 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ∅ → (-1↑(♯‘𝑠)) = (-1↑0))
79 neg1cn 11237 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
80 exp0 12979 . . . . . . . . . . 11 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (-1↑0) = 1
8278, 81syl6eq 2774 . . . . . . . . 9 (𝑠 = ∅ → (-1↑(♯‘𝑠)) = 1)
83 rint0 4625 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ∅ → ( 𝐴 𝑠) = 𝐴)
8483fveq2d 6308 . . . . . . . . 9 (𝑠 = ∅ → (♯‘( 𝐴 𝑠)) = (♯‘ 𝐴))
8582, 84oveq12d 6783 . . . . . . . 8 (𝑠 = ∅ → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) = (1 · (♯‘ 𝐴)))
8685sumsn 14595 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ (1 · (♯‘ 𝐴)) ∈ ℂ) → Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) = (1 · (♯‘ 𝐴)))
8772, 74, 86sylancr 698 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) = (1 · (♯‘ 𝐴)))
884mulid2d 10171 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (1 · (♯‘ 𝐴)) = (♯‘ 𝐴))
8987, 88eqtr2d 2759 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
909, 37fsumneg 14639 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})-((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = -Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
91 expm1t 13003 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑠) ∈ ℕ) → (-1↑(♯‘𝑠)) = ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · -1))
9211, 21, 91syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (-1↑(♯‘𝑠)) = ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · -1))
9324, 11mulcomd 10174 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · -1) = (-1 · (-1↑((♯‘𝑠) − 1))))
9424mulm1d 10595 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (-1 · (-1↑((♯‘𝑠) − 1))) = -(-1↑((♯‘𝑠) − 1)))
9592, 93, 943eqtrd 2762 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (-1↑(♯‘𝑠)) = -(-1↑((♯‘𝑠) − 1)))
9625unissd 4570 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 𝐴)
9731, 96sstrd 3719 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 𝐴)
98 sseqin2 3925 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑠 𝐴 ↔ ( 𝐴 𝑠) = 𝑠)
9997, 98sylib 208 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ( 𝐴 𝑠) = 𝑠)
10099fveq2d 6308 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (♯‘( 𝐴 𝑠)) = (♯‘ 𝑠))
10195, 100oveq12d 6783 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) = (-(-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
10224, 36mulneg1d 10596 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (-(-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = -((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
103101, 102eqtr2d 2759 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → -((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
104103sumeq2dv 14553 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})-((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
10590, 104eqtr3d 2760 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → -Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
10689, 105oveq12d 6783 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) + -Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠))) = (Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) + Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠)))))
10771, 106eqtr3d 2760 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠))) = (Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) + Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠)))))
10862, 70, 1073eqtr4rd 2769 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠))) = 0)
1094, 38, 108subeq0d 10513 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  Vcvv 3304  cdif 3677  cun 3678  cin 3679  wss 3680  c0 4023  𝒫 cpw 4266  {csn 4285   cuni 4544   cint 4583  cfv 6001  (class class class)co 6765  Fincfn 8072  cc 10047  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  cmin 10379  -cneg 10380  cn 11133  0cn0 11405  cexp 12975  chash 13232  Σcsu 14536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-clim 14339  df-sum 14537
This theorem is referenced by:  incexc2  14690
  Copyright terms: Public domain W3C validator