Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inawinalem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inawinalem 9674
 Description: Lemma for inawina 9675. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
inawinalem (𝐴 ∈ On → (∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem inawinalem
StepHypRef Expression
1 sdomdom 8137 . . . . 5 (𝒫 𝑥𝐴 → 𝒫 𝑥𝐴)
2 ondomen 9021 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → 𝒫 𝑥 ∈ dom card)
3 isnum2 8932 . . . . . 6 (𝒫 𝑥 ∈ dom card ↔ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
42, 3sylib 208 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
51, 4sylan2 492 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
6 ensdomtr 8249 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → 𝑦𝐴)
76ad2ant2l 799 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴)) → 𝑦𝐴)
8 sdomel 8260 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑦𝐴𝑦𝐴))
98ad2ant2r 800 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴)) → (𝑦𝐴𝑦𝐴))
107, 9mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴)) → 𝑦𝐴)
11 vex 3331 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
1211canth2 8266 . . . . . . . . 9 𝑥 ≺ 𝒫 𝑥
13 ensym 8158 . . . . . . . . 9 (𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 → 𝒫 𝑥𝑦)
14 sdomentr 8247 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ≺ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
1512, 13, 14sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝑦 ≈ 𝒫 𝑥𝑥𝑦)
1615ad2antlr 765 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴)) → 𝑥𝑦)
1710, 16jca 555 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴)) → (𝑦𝐴𝑥𝑦))
1817expcom 450 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) → (𝑦𝐴𝑥𝑦)))
1918reximdv2 3140 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → (∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
205, 19mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
2120ex 449 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝒫 𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
2221ralimdv 3089 1 (𝐴 ∈ On → (∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2127  ∀wral 3038  ∃wrex 3039  𝒫 cpw 4290   class class class wbr 4792  dom cdm 5254  Oncon0 5872   ≈ cen 8106   ≼ cdom 8107   ≺ csdm 8108  cardccrd 8922 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-card 8926 This theorem is referenced by:  inawina  9675  tskcard  9766  gruina  9803
 Copyright terms: Public domain W3C validator