MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inaprc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inaprc 9696
Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inaprc Inacc ∉ V

Proof of Theorem inaprc
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 9550 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
2 winaon 9548 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Inaccw𝑥 ∈ On)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ On)
43ssriv 3640 . . . 4 Inacc ⊆ On
5 ssorduni 7027 . . . 4 (Inacc ⊆ On → Ord Inacc)
6 ordsson 7031 . . . 4 (Ord Inacc → Inacc ⊆ On)
74, 5, 6mp2b 10 . . 3 Inacc ⊆ On
8 vex 3234 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
9 grothtsk 9695 . . . . . . . 8 Tarski = V
108, 9eleqtrri 2729 . . . . . . 7 𝑦 Tarski
11 eluni2 4472 . . . . . . 7 (𝑦 Tarski ↔ ∃𝑤 ∈ Tarski 𝑦𝑤)
1210, 11mpbi 220 . . . . . 6 𝑤 ∈ Tarski 𝑦𝑤
13 ne0i 3954 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑤𝑤 ≠ ∅)
14 tskcard 9641 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (card‘𝑤) ∈ Inacc)
1513, 14sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤) → (card‘𝑤) ∈ Inacc)
1615adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤)) → (card‘𝑤) ∈ Inacc)
17 tsksdom 9616 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤) → 𝑦𝑤)
1817adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤)) → 𝑦𝑤)
19 tskwe2 9633 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ Tarski → 𝑤 ∈ dom card)
2019adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤) → 𝑤 ∈ dom card)
21 cardsdomel 8838 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ dom card) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
2220, 21sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤)) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
2318, 22mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤)) → 𝑦 ∈ (card‘𝑤))
24 eleq2 2719 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (card‘𝑤) → (𝑦𝑧𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
2524rspcev 3340 . . . . . . . 8 (((card‘𝑤) ∈ Inacc ∧ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)) → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦𝑧)
2616, 23, 25syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤)) → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦𝑧)
2726rexlimdvaa 3061 . . . . . 6 (𝑦 ∈ On → (∃𝑤 ∈ Tarski 𝑦𝑤 → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦𝑧))
2812, 27mpi 20 . . . . 5 (𝑦 ∈ On → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦𝑧)
29 eluni2 4472 . . . . 5 (𝑦 Inacc ↔ ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦𝑧)
3028, 29sylibr 224 . . . 4 (𝑦 ∈ On → 𝑦 Inacc)
3130ssriv 3640 . . 3 On ⊆ Inacc
327, 31eqssi 3652 . 2 Inacc = On
33 ssonprc 7034 . . 3 (Inacc ⊆ On → (Inacc ∉ V ↔ Inacc = On))
344, 33ax-mp 5 . 2 (Inacc ∉ V ↔ Inacc = On)
3532, 34mpbir 221 1 Inacc ∉ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wnel 2926  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948   cuni 4468   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  Ord word 5760  Oncon0 5761  cfv 5926  csdm 7996  cardccrd 8799  Inaccwcwina 9542  Inacccina 9543  Tarskictsk 9608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-ac2 9323  ax-groth 9683
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-smo 7488  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-oi 8456  df-har 8504  df-r1 8665  df-card 8803  df-aleph 8804  df-cf 8805  df-acn 8806  df-ac 8977  df-wina 9544  df-ina 9545  df-tsk 9609
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator