MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inagswap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inagswap 25950
Description: Swap the order of the half lines delimiting the angle. Theorem 11.24 of [Schwabhauser] p. 101. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isinag.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isinag.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isinag.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
isinag.x (𝜑𝑋𝑃)
isinag.a (𝜑𝐴𝑃)
isinag.b (𝜑𝐵𝑃)
isinag.c (𝜑𝐶𝑃)
inagswap.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
inagswap.1 (𝜑𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
Assertion
Ref Expression
inagswap (𝜑𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩)

Proof of Theorem inagswap
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inagswap.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
2 isinag.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 isinag.i . . . . . . . 8 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 isinag.k . . . . . . . 8 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5 isinag.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑃)
6 isinag.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑃)
7 isinag.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑃)
8 isinag.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝑃)
9 inagswap.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9isinag 25949 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))))
111, 10mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))))
1211simpld 477 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵))
1312simp2d 1138 . . . 4 (𝜑𝐶𝐵)
1412simp1d 1137 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
1512simp3d 1139 . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
1613, 14, 153jca 1123 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐵𝐴𝐵𝑋𝐵))
1711simprd 482 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))
18 eqid 2760 . . . . . . . 8 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
1993ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑃𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2063ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑃𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
21 simp2 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑃𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑥𝑃)
2283ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑃𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
23 simp3 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑃𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
242, 18, 3, 19, 20, 21, 22, 23tgbtwncom 25603 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑃𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
25243expia 1115 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑃) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
2625anim1d 589 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑃) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))))
2726reximdva 3155 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)) → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))))
2817, 27mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))
2916, 28jca 555 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐵𝐴𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))))
302, 3, 4, 5, 8, 7, 6, 9isinag 25949 . 2 (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ↔ ((𝐶𝐵𝐴𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))))
3129, 30mpbird 247 1 (𝜑𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  ⟨“cs3 13807  Basecbs 16079  distcds 16172  TarskiGcstrkg 25549  Itvcitv 25555  hlGchlg 25715  inAcinag 25946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-concat 13507  df-s1 13508  df-s2 13813  df-s3 13814  df-trkgc 25567  df-trkgb 25568  df-trkgcb 25569  df-trkg 25572  df-inag 25948
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator