MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imval2 14111
Description: The imaginary part of a number in terms of complex conjugate. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
imval2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)))

Proof of Theorem imval2
StepHypRef Expression
1 imcl 14071 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
21recnd 10281 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
3 2mulicn 11468 . . . 4 (2 · i) ∈ ℂ
4 2muline0 11469 . . . 4 (2 · i) ≠ 0
5 divcan4 10925 . . . 4 (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → (((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) / (2 · i)) = (ℑ‘𝐴))
63, 4, 5mp3an23 1565 . . 3 ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) / (2 · i)) = (ℑ‘𝐴))
72, 6syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) / (2 · i)) = (ℑ‘𝐴))
8 recl 14070 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
98recnd 10281 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
10 ax-icn 10208 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
11 mulcl 10233 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
1210, 2, 11sylancr 698 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
139, 12addcld 10272 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
1413, 9, 12subsubd 10633 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − (ℜ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
15 replim 14076 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
16 remim 14077 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
1715, 16oveq12d 6833 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (∗‘𝐴)) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
18122timesd 11488 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
19 mulcom 10235 . . . . . . . 8 (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = ((2 · i) · (ℑ‘𝐴)))
203, 19mpan2 709 . . . . . . 7 ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = ((2 · i) · (ℑ‘𝐴)))
21 2cn 11304 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
22 mulass 10237 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ((2 · i) · (ℑ‘𝐴)) = (2 · (i · (ℑ‘𝐴))))
2321, 10, 22mp3an12 1563 . . . . . . 7 ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → ((2 · i) · (ℑ‘𝐴)) = (2 · (i · (ℑ‘𝐴))))
2420, 23eqtrd 2795 . . . . . 6 ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = (2 · (i · (ℑ‘𝐴))))
252, 24syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = (2 · (i · (ℑ‘𝐴))))
269, 12pncan2d 10607 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − (ℜ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘𝐴)))
2726oveq1d 6830 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − (ℜ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2818, 25, 273eqtr4d 2805 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − (ℜ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2914, 17, 283eqtr4rd 2806 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = (𝐴 − (∗‘𝐴)))
3029oveq1d 6830 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) / (2 · i)) = ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)))
317, 30eqtr3d 2797 1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  0cc0 10149  ici 10151   + caddc 10152   · cmul 10154  cmin 10479   / cdiv 10897  2c2 11283  ccj 14056  cre 14057  cim 14058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-2 11292  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061
This theorem is referenced by:  resinval  15085  dvmptim  23953
  Copyright terms: Public domain W3C validator