MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imsdval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imsdval 27881
Description: Value of the induced metric (distance function) of a normed complex vector space. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsdval.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
imsdval.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
imsdval.6 𝑁 = (normCV𝑈)
imsdval.8 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
imsdval ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)))

Proof of Theorem imsdval
StepHypRef Expression
1 imsdval.3 . . . . . 6 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
2 imsdval.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCV𝑈)
3 imsdval.8 . . . . . 6 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
41, 2, 3imsval 27880 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 = (𝑁𝑀))
543ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐷 = (𝑁𝑀))
65fveq1d 6335 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑁𝑀)‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
7 imsdval.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
87, 1nvmf 27840 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
9 opelxpi 5287 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
10 fvco3 6419 . . . . 5 ((𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁𝑀)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝑁‘(𝑀‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
118, 9, 10syl2an 583 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝑁𝑀)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝑁‘(𝑀‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
12113impb 1107 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝑀)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝑁‘(𝑀‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
136, 12eqtrd 2805 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝑁‘(𝑀‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
14 df-ov 6799 . 2 (𝐴𝐷𝐵) = (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
15 df-ov 6799 . . 3 (𝐴𝑀𝐵) = (𝑀‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
1615fveq2i 6336 . 2 (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)) = (𝑁‘(𝑀‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
1713, 14, 163eqtr4g 2830 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cop 4323   × cxp 5248  ccom 5254  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  NrmCVeccnv 27779  BaseSetcba 27781  𝑣 cnsb 27784  normCVcnmcv 27785  IndMetcims 27786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-ltxr 10285  df-sub 10474  df-neg 10475  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-gdiv 27690  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-vs 27794  df-nmcv 27795  df-ims 27796
This theorem is referenced by:  imsdval2  27882  nvnd  27883  vacn  27889  smcnlem  27892  sspimsval  27933  blometi  27998  blocnilem  27999  ubthlem2  28067  minvecolem2  28071  minvecolem4  28076  minvecolem5  28077  minvecolem6  28078  h2hmetdval  28175  hhssmetdval  28475
  Copyright terms: Public domain W3C validator