MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imsdf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imsdf 27878
Description: Mapping for the induced metric distance function of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 29-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsdfn.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
imsdfn.8 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
imsdf (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Proof of Theorem imsdf
StepHypRef Expression
1 imsdfn.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2770 . . . 4 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
31, 2nvf 27849 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV𝑈):𝑋⟶ℝ)
4 eqid 2770 . . . 4 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
51, 4nvmf 27834 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → ( −𝑣𝑈):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
6 fco 6198 . . 3 (((normCV𝑈):𝑋⟶ℝ ∧ ( −𝑣𝑈):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → ((normCV𝑈) ∘ ( −𝑣𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
73, 5, 6syl2anc 565 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV𝑈) ∘ ( −𝑣𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
8 imsdfn.8 . . . 4 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
94, 2, 8imsval 27874 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 = ((normCV𝑈) ∘ ( −𝑣𝑈)))
109feq1d 6170 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ ((normCV𝑈) ∘ ( −𝑣𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
117, 10mpbird 247 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1630  wcel 2144   × cxp 5247  ccom 5253  wf 6027  cfv 6031  cr 10136  NrmCVeccnv 27773  BaseSetcba 27775  𝑣 cnsb 27778  normCVcnmcv 27779  IndMetcims 27780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-ltxr 10280  df-sub 10469  df-neg 10470  df-grpo 27681  df-gid 27682  df-ginv 27683  df-gdiv 27684  df-ablo 27733  df-vc 27748  df-nv 27781  df-va 27784  df-ba 27785  df-sm 27786  df-0v 27787  df-vs 27788  df-nmcv 27789  df-ims 27790
This theorem is referenced by:  imsmetlem  27879  sspims  27928
  Copyright terms: Public domain W3C validator