MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imf 14083
Description: Domain and codomain of the imaginary part function. (Contributed by Paul Chapman, 22-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
imf ℑ:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem imf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-im 14071 . 2 ℑ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘(𝑥 / i)))
2 imval 14077 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑥) = (ℜ‘(𝑥 / i)))
3 imcl 14081 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
42, 3eqeltrrd 2854 . 2 (𝑥 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝑥 / i)) ∈ ℝ)
51, 4fmpti 6542 1 ℑ:ℂ⟶ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2148  wf 6038  cfv 6042  (class class class)co 6812  cc 10157  cr 10158  ici 10161   / cdiv 10907  cre 14067  cim 14068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-op 4333  df-uni 4586  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-id 5171  df-po 5184  df-so 5185  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-er 7917  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-div 10908  df-2 11302  df-cj 14069  df-re 14070  df-im 14071
This theorem is referenced by:  imcn2  14562  climim  14567  rlimim  14572  caucvgr  14636  fsumim  14770  imcncf  22946  cnrehmeo  22992  ismbf  23636  ismbfcn  23637  mbfconst  23641  ismbfcn2  23646  mbfres  23652  mbfimaopnlem  23663  eff1olem  24536  ellogrn  24548  dvloglem  24636  logf1o2  24638  dvlog  24639  efopnlem2  24645  asinneg  24855  mbfresfi  33805  itgaddnc  33819  itgmulc2nc  33827  mbfres2cn  40697
  Copyright terms: Public domain W3C validator