Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imbi12VD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imbi12VD 39626
Description: Implication form of imbi12i 339. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. imbi12 335 is imbi12VD 39626 without virtual deductions and was automatically derived from imbi12VD 39626.
1:: (   (𝜑𝜓)   ▶   (𝜑𝜓)   )
2:: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)    ▶   (𝜒𝜃)   )
3:: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑 𝜒)   ▶   (𝜑𝜒)   )
4:1,3: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑 𝜒)   ▶   (𝜓𝜒)   )
5:2,4: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑 𝜒)   ▶   (𝜓𝜃)   )
6:5: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)    ▶   ((𝜑𝜒) → (𝜓𝜃))   )
7:: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓 𝜃)   ▶   (𝜓𝜃)   )
8:1,7: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓 𝜃)   ▶   (𝜑𝜃)   )
9:2,8: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓 𝜃)   ▶   (𝜑𝜒)   )
10:9: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)    ▶   ((𝜓𝜃) → (𝜑𝜒))   )
11:6,10: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)    ▶   ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))   )
12:11: (   (𝜑𝜓)   ▶   ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃)))   )
qed:12: ((𝜑𝜓) → ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))))
(Contributed by Alan Sare, 18-Mar-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
imbi12VD ((𝜑𝜓) → ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))))

Proof of Theorem imbi12VD
StepHypRef Expression
1 idn2 39358 . . . . . 6 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ▶   (𝜒𝜃)   )
2 idn1 39310 . . . . . . 7 (   (𝜑𝜓)   ▶   (𝜑𝜓)   )
3 idn3 39360 . . . . . . 7 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑𝜒)   ▶   (𝜑𝜒)   )
4 biimpr 210 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝜓𝜑))
54imim1d 82 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝜑𝜒) → (𝜓𝜒)))
62, 3, 5e13 39495 . . . . . 6 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑𝜒)   ▶   (𝜓𝜒)   )
7 biimp 205 . . . . . . 7 ((𝜒𝜃) → (𝜒𝜃))
87imim2d 57 . . . . . 6 ((𝜒𝜃) → ((𝜓𝜒) → (𝜓𝜃)))
91, 6, 8e23 39502 . . . . 5 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑𝜒)   ▶   (𝜓𝜃)   )
109in3 39354 . . . 4 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ▶   ((𝜑𝜒) → (𝜓𝜃))   )
11 idn3 39360 . . . . . . 7 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓𝜃)   ▶   (𝜓𝜃)   )
12 biimp 205 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝜑𝜓))
1312imim1d 82 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝜓𝜃) → (𝜑𝜃)))
142, 11, 13e13 39495 . . . . . 6 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓𝜃)   ▶   (𝜑𝜃)   )
15 biimpr 210 . . . . . . 7 ((𝜒𝜃) → (𝜃𝜒))
1615imim2d 57 . . . . . 6 ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜃) → (𝜑𝜒)))
171, 14, 16e23 39502 . . . . 5 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓𝜃)   ▶   (𝜑𝜒)   )
1817in3 39354 . . . 4 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ▶   ((𝜓𝜃) → (𝜑𝜒))   )
19 impbi 198 . . . 4 (((𝜑𝜒) → (𝜓𝜃)) → (((𝜓𝜃) → (𝜑𝜒)) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))))
2010, 18, 19e22 39416 . . 3 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ▶   ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))   )
2120in2 39350 . 2 (   (𝜑𝜓)   ▶   ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃)))   )
2221in1 39307 1 ((𝜑𝜓) → ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 385  df-3an 1074  df-vd1 39306  df-vd2 39314  df-vd3 39326
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator