Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasvscaval 16245
 Description: The value of an image structure's scalar multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasvscaf.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasvscaf.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasvscaf.r (𝜑𝑅𝑍)
imasvscaf.g 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvscaf.k 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvscaf.q · = ( ·𝑠𝑅)
imasvscaf.s = ( ·𝑠𝑈)
imasvscaf.e ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
Assertion
Ref Expression
imasvscaval ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋 (𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝑞,𝐹   𝐾,𝑎,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ,𝑎,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)   · (𝑎)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎)   𝐺(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑋(𝑞,𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem imasvscaval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasvscaf.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasvscaf.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasvscaf.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
4 imasvscaf.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝑍)
5 imasvscaf.g . . . . . . 7 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
6 imasvscaf.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐺)
7 imasvscaf.q . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑅)
8 imasvscaf.s . . . . . . 7 = ( ·𝑠𝑈)
9 imasvscaf.e . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasvscafn 16244 . . . . . 6 (𝜑 Fn (𝐾 × 𝐵))
11 fnfun 6026 . . . . . 6 ( Fn (𝐾 × 𝐵) → Fun )
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Fun )
13123ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → Fun )
14 eqidd 2652 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑌𝐾 = 𝐾)
15 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑌 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑌))
1615sneqd 4222 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑌 → {(𝐹𝑞)} = {(𝐹𝑌)})
17 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑌 → (𝑝 · 𝑞) = (𝑝 · 𝑌))
1817fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑌 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))
1914, 16, 18mpt2eq123dv 6759 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑌 → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))))
2019ssiun2s 4596 . . . . . 6 (𝑌𝑉 → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
21203ad2ant3 1104 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8imasvsca 16227 . . . . . 6 (𝜑 = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
23223ad2ant1 1102 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
2421, 23sseqtr4d 3675 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ )
25 simp2 1082 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → 𝑋𝐾)
26 fvex 6239 . . . . . . 7 (𝐹𝑌) ∈ V
2726snid 4241 . . . . . 6 (𝐹𝑌) ∈ {(𝐹𝑌)}
28 opelxpi 5182 . . . . . 6 ((𝑋𝐾 ∧ (𝐹𝑌) ∈ {(𝐹𝑌)}) → ⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑌)}))
2925, 27, 28sylancl 695 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → ⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑌)}))
30 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) = (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))
31 fvex 6239 . . . . . 6 (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)) ∈ V
3230, 31dmmpt2 7285 . . . . 5 dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) = (𝐾 × {(𝐹𝑌)})
3329, 32syl6eleqr 2741 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → ⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩ ∈ dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))))
34 funssfv 6247 . . . 4 ((Fun ∧ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∧ ⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩ ∈ dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))) → ( ‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩) = ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩))
3513, 24, 33, 34syl3anc 1366 . . 3 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → ( ‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩) = ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩))
36 df-ov 6693 . . 3 (𝑋 (𝐹𝑌)) = ( ‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩)
37 df-ov 6693 . . 3 (𝑋(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹𝑌)) = ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩)
3835, 36, 373eqtr4g 2710 . 2 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋 (𝐹𝑌)) = (𝑋(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹𝑌)))
39 oveq1 6697 . . . . 5 (𝑝 = 𝑋 → (𝑝 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
4039fveq2d 6233 . . . 4 (𝑝 = 𝑋 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
41 eqidd 2652 . . . 4 (𝑥 = (𝐹𝑌) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
42 fvex 6239 . . . 4 (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ V
4340, 41, 30, 42ovmpt2 6838 . . 3 ((𝑋𝐾 ∧ (𝐹𝑌) ∈ {(𝐹𝑌)}) → (𝑋(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
4425, 27, 43sylancl 695 . 2 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
4538, 44eqtrd 2685 1 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋 (𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  {csn 4210  ⟨cop 4216  ∪ ciun 4552   × cxp 5141  dom cdm 5143  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  –onto→wfo 5924  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992   “s cimas 16211 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-imas 16215 This theorem is referenced by:  xpsvsca  16286
 Copyright terms: Public domain W3C validator