MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscafn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasvscafn 16178
Description: The image structure's scalar multiplication is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasvscaf.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasvscaf.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasvscaf.r (𝜑𝑅𝑍)
imasvscaf.g 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvscaf.k 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvscaf.q · = ( ·𝑠𝑅)
imasvscaf.s = ( ·𝑠𝑈)
imasvscaf.e ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
Assertion
Ref Expression
imasvscafn (𝜑 Fn (𝐾 × 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝑞,𝐹   𝐾,𝑎,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ,𝑎,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)   · (𝑎)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎)   𝐺(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem imasvscafn
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2620 . . . . . . . 8 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
2 fvex 6188 . . . . . . . 8 (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ V
31, 2fnmpt2i 7224 . . . . . . 7 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) Fn (𝐾 × {(𝐹𝑞)})
4 fnrel 5977 . . . . . . 7 ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) Fn (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) → Rel (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 Rel (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
65rgenw 2921 . . . . 5 𝑞𝑉 Rel (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7 reliun 5229 . . . . 5 (Rel 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ↔ ∀𝑞𝑉 Rel (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
86, 7mpbir 221 . . . 4 Rel 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
9 imasvscaf.u . . . . . 6 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
10 imasvscaf.v . . . . . 6 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
11 imasvscaf.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
12 imasvscaf.r . . . . . 6 (𝜑𝑅𝑍)
13 imasvscaf.g . . . . . 6 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
14 imasvscaf.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐺)
15 imasvscaf.q . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑅)
16 imasvscaf.s . . . . . 6 = ( ·𝑠𝑈)
179, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16imasvsca 16161 . . . . 5 (𝜑 = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
1817releqd 5193 . . . 4 (𝜑 → (Rel ↔ Rel 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))))
198, 18mpbiri 248 . . 3 (𝜑 → Rel )
20 dffn2 6034 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) Fn (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ↔ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶V)
213, 20mpbi 220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶V
22 fssxp 6047 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶V → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × V))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × V)
24 fof 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹:𝑉𝐵)
2511, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:𝑉𝐵)
2625ffvelrnda 6345 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝐹𝑞) ∈ 𝐵)
2726snssd 4331 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝑉) → {(𝐹𝑞)} ⊆ 𝐵)
28 xpss2 5219 . . . . . . . . . . . 12 ({(𝐹𝑞)} ⊆ 𝐵 → (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵))
29 xpss1 5218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵) → ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × V) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
3027, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝑉) → ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × V) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
3123, 30syl5ss 3606 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
3231ralrimiva 2963 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
33 iunss 4552 . . . . . . . . 9 ( 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V) ↔ ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
3432, 33sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
3517, 34eqsstrd 3631 . . . . . . 7 (𝜑 ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
36 dmss 5312 . . . . . . 7 ( ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V) → dom ⊆ dom ((𝐾 × 𝐵) × V))
3735, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom ⊆ dom ((𝐾 × 𝐵) × V))
38 vn0 3916 . . . . . . 7 V ≠ ∅
39 dmxp 5333 . . . . . . 7 (V ≠ ∅ → dom ((𝐾 × 𝐵) × V) = (𝐾 × 𝐵))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6 dom ((𝐾 × 𝐵) × V) = (𝐾 × 𝐵)
4137, 40syl6sseq 3643 . . . . 5 (𝜑 → dom ⊆ (𝐾 × 𝐵))
42 forn 6105 . . . . . . 7 (𝐹:𝑉onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
4311, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
4443xpeq2d 5129 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 × ran 𝐹) = (𝐾 × 𝐵))
4541, 44sseqtr4d 3634 . . . 4 (𝜑 → dom ⊆ (𝐾 × ran 𝐹))
46 df-br 4645 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤 ↔ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ )
4717eleq2d 2685 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ ↔ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))))
4847adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ ↔ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))))
49 eliun 4515 . . . . . . . . . . . 12 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ↔ ∃𝑞𝑉 ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
50 df-3an 1038 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉) ↔ ((𝑝𝐾𝑎𝑉) ∧ 𝑞𝑉))
511mpt2fun 6747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Fun (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
52 funopfv 6222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Fun (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))‘⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩) = 𝑤))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))‘⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩) = 𝑤)
54 df-ov 6638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))(𝐹𝑎)) = ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))‘⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩)
55 opex 4923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑝, (𝐹𝑎)⟩ ∈ V
56 vex 3198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑤 ∈ V
5755, 56opeldm 5317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → ⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ ∈ dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
581, 2dmmpt2 7225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝐾 × {(𝐹𝑞)})
5957, 58syl6eleq 2709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → ⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑞)}))
60 opelxp 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ↔ (𝑝𝐾 ∧ (𝐹𝑎) ∈ {(𝐹𝑞)}))
6159, 60sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → (𝑝𝐾 ∧ (𝐹𝑎) ∈ {(𝐹𝑞)}))
62 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑝 → (𝑧 · 𝑞) = (𝑝 · 𝑞))
6362fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑝 → (𝐹‘(𝑧 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
64 eqidd 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = (𝐹𝑎) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
6563equcoms 1945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 = 𝑧 → (𝐹‘(𝑧 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
6665eqcomd 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 = 𝑧 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑧 · 𝑞)))
67 eqidd 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑧 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑧 · 𝑞)))
6866, 67cbvmpt2v 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑧𝐾, 𝑦 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑧 · 𝑞)))
6963, 64, 68, 2ovmpt2 6781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝𝐾 ∧ (𝐹𝑎) ∈ {(𝐹𝑞)}) → (𝑝(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))(𝐹𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7061, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → (𝑝(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))(𝐹𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7154, 70syl5eqr 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))‘⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7253, 71eqtr3d 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7372adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) ∧ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7461simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → (𝐹𝑎) ∈ {(𝐹𝑞)})
75 elsni 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝑎) ∈ {(𝐹𝑞)} → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞))
77 imasvscaf.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
7877imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7976, 78sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) ∧ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
8073, 79eqtr4d 2657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) ∧ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)))
8180ex 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8250, 81sylan2br 493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑝𝐾𝑎𝑉) ∧ 𝑞𝑉)) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8382anassrs 679 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) ∧ 𝑞𝑉) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8483rexlimdva 3027 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → (∃𝑞𝑉 ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8549, 84syl5bi 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8648, 85sylbid 230 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8746, 86syl5bi 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → (⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8887alrimiv 1853 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → ∀𝑤(⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
89 mo2icl 3379 . . . . . . . 8 (∀𝑤(⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))) → ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤)
9088, 89syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤)
9190ralrimivva 2968 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑝𝐾𝑎𝑉 ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤)
92 fofn 6104 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹 Fn 𝑉)
93 opeq2 4394 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹𝑎) → ⟨𝑝, 𝑦⟩ = ⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩)
9493breq1d 4654 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑎) → (⟨𝑝, 𝑦 𝑤 ↔ ⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤))
9594mobidv 2489 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑎) → (∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤 ↔ ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤))
9695ralrn 6348 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤 ↔ ∀𝑎𝑉 ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤))
9711, 92, 963syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤 ↔ ∀𝑎𝑉 ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤))
9897ralbidv 2983 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤 ↔ ∀𝑝𝐾𝑎𝑉 ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤))
9991, 98mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤)
100 breq1 4647 . . . . . . 7 (𝑥 = ⟨𝑝, 𝑦⟩ → (𝑥 𝑤 ↔ ⟨𝑝, 𝑦 𝑤))
101100mobidv 2489 . . . . . 6 (𝑥 = ⟨𝑝, 𝑦⟩ → (∃*𝑤 𝑥 𝑤 ↔ ∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤))
102101ralxp 5252 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)∃*𝑤 𝑥 𝑤 ↔ ∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤)
10399, 102sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)∃*𝑤 𝑥 𝑤)
104 ssralv 3658 . . . 4 (dom ⊆ (𝐾 × ran 𝐹) → (∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)∃*𝑤 𝑥 𝑤 → ∀𝑥 ∈ dom ∃*𝑤 𝑥 𝑤))
10545, 103, 104sylc 65 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom ∃*𝑤 𝑥 𝑤)
106 dffun7 5903 . . 3 (Fun ↔ (Rel ∧ ∀𝑥 ∈ dom ∃*𝑤 𝑥 𝑤))
10719, 105, 106sylanbrc 697 . 2 (𝜑 → Fun )
108 eqimss2 3650 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
10917, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
110 iunss 4552 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ↔ ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
111109, 110sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
112111r19.21bi 2929 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
113112adantrl 751 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
114 dmss 5312 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ → dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ dom )
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ dom )
11658, 115syl5eqssr 3642 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ⊆ dom )
117 simprl 793 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → 𝑝𝐾)
118 fvex 6188 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑞) ∈ V
119118snid 4199 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑞) ∈ {(𝐹𝑞)}
120 opelxpi 5138 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝐾 ∧ (𝐹𝑞) ∈ {(𝐹𝑞)}) → ⟨𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑞)}))
121117, 119, 120sylancl 693 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → ⟨𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑞)}))
122116, 121sseldd 3596 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → ⟨𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom )
123122ralrimivva 2968 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑝𝐾𝑞𝑉𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom )
124 opeq2 4394 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹𝑞) → ⟨𝑝, 𝑦⟩ = ⟨𝑝, (𝐹𝑞)⟩)
125124eleq1d 2684 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑞) → (⟨𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom ↔ ⟨𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom ))
126125ralrn 6348 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom ↔ ∀𝑞𝑉𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom ))
12711, 92, 1263syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom ↔ ∀𝑞𝑉𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom ))
128127ralbidv 2983 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom ↔ ∀𝑝𝐾𝑞𝑉𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom ))
129123, 128mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom )
130 eleq1 2687 . . . . . . 7 (𝑥 = ⟨𝑝, 𝑦⟩ → (𝑥 ∈ dom ↔ ⟨𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom ))
131130ralxp 5252 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)𝑥 ∈ dom ↔ ∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom )
132129, 131sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)𝑥 ∈ dom )
133 dfss3 3585 . . . . 5 ((𝐾 × ran 𝐹) ⊆ dom ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)𝑥 ∈ dom )
134132, 133sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 × ran 𝐹) ⊆ dom )
13544, 134eqsstr3d 3632 . . 3 (𝜑 → (𝐾 × 𝐵) ⊆ dom )
13641, 135eqssd 3612 . 2 (𝜑 → dom = (𝐾 × 𝐵))
137 df-fn 5879 . 2 ( Fn (𝐾 × 𝐵) ↔ (Fun ∧ dom = (𝐾 × 𝐵)))
138107, 136, 137sylanbrc 697 1 (𝜑 Fn (𝐾 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wal 1479   = wceq 1481  wcel 1988  ∃*wmo 2469  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  Vcvv 3195  wss 3567  c0 3907  {csn 4168  cop 4174   ciun 4511   class class class wbr 4644   × cxp 5102  dom cdm 5104  ran crn 5105  Rel wrel 5109  Fun wfun 5870   Fn wfn 5871  wf 5872  ontowfo 5874  cfv 5876  (class class class)co 6635  cmpt2 6637  Basecbs 15838  Scalarcsca 15925   ·𝑠 cvsca 15926  s cimas 16145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-imas 16149
This theorem is referenced by:  imasvscaval  16179  imasvscaf  16180
  Copyright terms: Public domain W3C validator